2001　神戸大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　複素数$1+i$および$1+\sqrt{3}i$を極形式であらわせ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　正の整数$m\text{，}n$が$|{(1+i)}^n|=|{(1+\sqrt{3}i)}^m|$をみたすとき，$m\text{，}n$の関係式を求めよ．

(3)　正の整数$m\text{，}n$で${(1+i)}^n={(1+\sqrt{3}i)}^m$かつ$m+n\leqq 100$をみたす組$(m,n)$をすべて求めよ．

【２】　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は，一直線上にない点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$（$t$は実数）をみたす点とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$であらわせ．

(2)　点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2s\overrightarrow{\mathrm{OA}}$（$s$は実数）をみたす点とする．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$t\text{，}s$が$0\leqq t\leqq 1\text{，}0\leqq s\leqq 1$をみたしながら変化するとき，点$\mathrm{M}$の存在する範囲を図示せよ．

【３】　$a$を正の定数として，関数

$f(x)=(x-1)\{4x^2-(6a-4)x+12a-11\}$

を考える．次の問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)\geqq 0$が区間$0\leqq x\leqq 2$でなりたつとき，$a$の取りえる値の範囲を求めよ．

(3)　(2)のとき，区間$0\leqq x\leqq 2$における$|f(x)|$の最大値を求めよ．

【１】　行列 $A\text{，}B$を

$A=\left(\begin{array}{cc}k& 4\\ -1& k-4\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& b\end{array}\right)$

とする．次の問に答えよ．

(1)　$A$の逆行列が存在しないような$k$の値を求めよ．

(2)　$A$の逆行列が存在するとき，$AX=B$となる$X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$を$a\text{，}b\text{，}k$を用いて表せ．

(3)　$A$の逆行列が存在しないとき，$AX=B$をみたす行列$X$があるような$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を整数とする．$x$に関する$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が有理数の解をもつならば，その解は整数であることを示せ．ただし，正の有理数は$1$以外の公約数をもたない$2$つの自然数$m\text{，}n$を用いて${\displaystyle \frac{n}{m}}$と表せることを用いよ．

(2)　方程式$x^3+2x^2+2=0$は，有理数の解をもたないことを背理法を用いて示せ．

【４】　関数

$f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{2x}}+{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

を考える．次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数$\log x$の底である．

(1)　$f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形を描け．ここで$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．また，グラフと座標軸との交点の座標は求めなくてよい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^e}f(x)dx$の値を求めよ．

【５】　白球$3$個，赤球$2$個，青球$1$個合計$6$個の入っている袋がある．最初に$\mathrm{A}$君が，次のルール(ⅰ)，(ⅱ)に従って袋から球を$1$個または$2$個取り出す．次に$\mathrm{B}$君が同じルールに従って，袋に残った球を$1$個または$2$個取り出す．ただし，いったん取り出した球は元の袋には戻さないものとする．

(ⅰ)　取り出した$1$個目が赤球ならば，$2$個目を取り出すことはできない．

(ⅱ)　取り出した$1$個目が赤球以外ならば，さらに$1$個だけ取り出す．

　白球は$1$点，赤球は$2$点，青球は$3$点とし，取り出した球の合計点を各自の得点とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の得点が同じになる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君の得点が$\mathrm{B}$君の得点より大きくなる確率$p_2$を求めよ．