2001　東京理科大学　理工学部数，建築，電気電子情報学科MathJax

2001-13442-0401

2001　東京理科大学　理工学部

数，建築，電気電子情報学科

(1)〜(4)合わせて配点40点，数学科は60点

易□　並□　難□

【１】　次の文章中の $ア$ から $ハ$ までに当てはまる数字 $0$ 〜 $9$ を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　 $x$ についての $2$ 次方程式 $x^{2} + k x + {(3 k - 1)}^{2} = 0$ が実数解をもつのは，実数 $k$ が $\frac{ア}{イ} ≦ k ≦ \frac{ウ}{エ}$ を満たすときである．とくに， $x = 0$ がこの方程式の解になるのは， $k = \frac{オ}{カ}$ のときで，このときもう一つの解は $x = - \frac{キ}{ク}$ である．

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数，建築，電気電子情報学科

(1)〜(4)合わせて配点40点，数学科は60点

易□　並□　難□

【１】　次の文章中の $ア$ から $ハ$ までに当てはまる数字 $0$ 〜 $9$ を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　空間内に $2$ 点 $A (1, 2, 3) ， B (3, 1, 2)$ をとり， $AB$ を一辺とする正四面体 $ABCD$ を考えると， $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} = \vec{AC} \cdot \vec{AD} = ケ$ である．辺 $AB$ の中点を $P$ とするとき， ${| \vec{PC} |}^{2} = {| \vec{PD} |}^{2} = \frac{コ}{サ}$ で， $\vec{PC} \cdot \vec{PD} = \frac{シ}{ス}$ であるから， $∠ CPD = θ$ とおくとき， $\cos θ = \frac{セ}{ソ}$ である．

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数，建築，電気電子情報学科

(1)〜(4)合わせて配点40点，数学科は60点

易□　並□　難□

【１】　次の文章中の $ア$ から $ハ$ までに当てはまる数字 $0$ 〜 $9$ を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　 $1 \pm \sqrt{3} i = タ (\cos チツ ° \pm i \sin チツ °)$ （複号同順）であるから， ${(1 + \sqrt{3} i)}^{n} + {(1 - \sqrt{3} i)}^{n} = 128$ を満たす自然数 $n$ は， $n = テ$ と $n = ト$ である．

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(1)〜(4)合わせて配点40点，数学科は60点

易□　並□　難□

【１】　次の文章中の $ア$ から $ハ$ までに当てはまる数字 $0$ 〜 $9$ を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(4)　 $1$ の目の面は赤色に， $3$ と $5$ の目の面は黄色に， $2$ と $4$ と $6$ の目の面は青色にぬりつぶしたサイコロをふる．黄色，青色の面が出る確率は，それぞれ $\frac{1}{ナ} ， \frac{1}{ニ}$ である．このサイコロを $3$ つの色が出る（つまりどの色の面も少なくとも $1$ 回出る）までふりつづけることにすると， $3$ 回で終わる確率は $\frac{ヌ}{ネ} ，$ ちょうど $4$ 回で終わる確率は $\frac{ノ}{ハ}$ となる．

2001-13442-0405

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30点，数学科は45点

易□　並□　難□

【２】　関数 $y = \log \sqrt{x} （ x > 0 ）$ のグラフ上の点 $P (t, \log \sqrt{t})$ と原点 $O (0, 0)$ を通る直線の傾きを $g (t)$ とする．ただし，対数は自然対数である．

(1)　 $g (t)$ を求めよ．

(2)　 $g (t)$ の増減を調べ，最大値を求めよ．

(3)　曲線 $y = \log \sqrt{x}$ に原点 $O$ から引いた接線を $l$ とする． $l$ の方程式を求めよ．

(4)　(3)における直線 $l$ と曲線 $y = \log \sqrt{x} ，$ および $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

2001-13442-0406

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30点，数学科は45点

易□　並□　難□

【３】　連続関数 $f (x)$ に関する次の条件(＊)について考える．

条件(＊)：すべての自然数 $n$ に対して

$\int_{- 1}^{1} x^{2 n} f (x) d x < \int_{- 1}^{1} f (x) d x$

が成立する．

(1)　関数 $f (x) = x^{2} + k (1 - 9 x^{2})$ が条件(＊)を満たすような実数 $k$ の範囲を求めよ．

(2)　連続関数 $g (x)$ が性質 $P$ をもつとは次のことが成り立つこととする．

(性質 $P$ )　どんな正の実数 $a$ に対しても，関数 $f (x) = g (a x) + b (1 - 9 x^{2})$ が条件(＊)を満たすような正の実数 $b$ が（ $a$ に応じて）とれる．

(ⅰ)　 $g (x) = x^{2}$ は性質 $P$ をもつことを示せ．

(ⅱ)　 $g_{1} (x)$ と $g_{2} (x)$ がともに性質 $P$ をもつならば， $g_{1} (x) + g_{2} (x)$ も性質 $P$ をもつことを示せ．

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