2001　東京理科大学　薬学部MathJax

【１】(1)　半径$1\mathrm{cm}$の円に内接する正$n$角形の$1$辺の長さは

$\boxed{\text{ア}}\sin {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}\mathrm{°}}{n}}\mathrm{cm}$

になり，その面積は

${\displaystyle \frac{n}{\boxed{\text{オ}}}}\sin {\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}\mathrm{°}}{n}}{\mathrm{cm}}^2$

である．また，半径$1\mathrm{cm}$の円に外接する正$n$角形の$1$辺の長さは

$\boxed{\text{ケ}}\tan {\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}\mathrm{°}}{n}}\mathrm{cm}$

であり，その面積は$n\tan {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}\mathrm{°}}{n}}{\mathrm{cm}}^2$になる．

【１】(2)　$1$辺$\sqrt{3}\mathrm{cm}$の正$6$角形のタイル$8$枚を重ならないように縦$5\sqrt{3}\mathrm{cm}\text{，}$横$9\mathrm{cm}$の長方形内に並べる．さらに，この長方形内に隙間なくタイルを敷き詰めるため，同じ形のタイルを切断して埋め込む．切断されて埋め込まれたタイルの総面積は$\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}{\mathrm{cm}}^2$で，このとき切断して使用したタイルの総数は最小$\boxed{\text{ツ}}$枚である．

【２】　$3$点$\mathrm{A}(0,4)\text{，}\mathrm{B}(2,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,3)$を通る円の方程式は$x^2+y^2-\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y=0$であり，この円の中心の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$である．次に$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心$\mathrm{I}$の座標を$(a,b)$とすれば，点$\mathrm{I}$から直線$\mathrm{AB}\text{，}$直線$\mathrm{BC}\text{，}$直線$\mathrm{CA}$に至る距離は等しい．これを$a\text{，}b$の連立方程式として表し，$\mathrm{I}$が$▵\mathrm{ABC}$の内部にあることに注意して解けば

$a=\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}$

となる．このとき，内接円の半径は$\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}-\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

　一方，$▵\mathrm{ABC}$の重心の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$になる．

【３】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4p}}{x}^2\text{（}p>0\text{）}$上において，$x$座標が正である点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{t^2}{4p}})$を考える．このとき点$\mathrm{P}$における接線の傾きは${\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{ア}}p}}$であるから，この点を通りこの接線に垂直な直線$l$の傾きは$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}p}{t}}$である．直線$l$と直線$x=t$とのなす角を${\theta }_1\text{（}0\mathrm{°}<{\theta }_1<90\mathrm{°}\text{）}$とすれば，この直線$l$と$x$軸とのなす角は$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}\mathrm{°}-{\theta }_1$となり，それゆえ$\tan {\theta }_1={\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{オ}}p}}$を得る．一方，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{F}(0,p)$を通る直線と$x$軸とのなす角を$\theta \text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$とする．ただし$\theta$は$\tan \theta$が，直線$\mathrm{PF}$の傾きを与えるように選ぶ．このとき$\tan \theta ={\displaystyle \frac{t^2-\boxed{\text{カ}}{p}^2}{\boxed{\text{キ}}tp}}$になる．また，この直線$\mathrm{PF}$と先ほどの直線$l$とのなす角を${\theta }_2\text{（}0\mathrm{°}<{\theta }_2<90\mathrm{°}\text{）}$とすれば，

$\tan {\theta }_2={\displaystyle \frac{\tan (\boxed{\text{ク}\text{ケ}}\mathrm{°}-{\theta }_1)+\tan \theta }{1-\tan (\boxed{\text{コ}\text{サ}}\mathrm{°}-{\theta }_1)\tan \theta }}$

となり，これを$t$と$p$で表せば，$\tan {\theta }_2={\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{シ}}p}}$となる．したがって，直線$l$は直線$x=t$と直線$\mathrm{PF}$とのなす角を$\boxed{\text{ス}}$等分する．ここでこの放物線の内側を鏡として使用すれば，$\mathrm{F}$から発する光はすべて$y$軸に平行な直線上をたどることになる．

【４】　$N$を自然数とするとき，$N$以下の自然数$n$で$2^n$の値を$10$進数として表座したときの最高位の数字（左端の数字）が$1$となっているものを取り出すとき，これらの個数を$f(N)$で表す．たとえば，$N=4$ならば，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$で$2^1=2\text{，}{2}^2=4\text{，}{2}^3=8\text{，}{2}^4=16$であるから，そのうち最高位の数字が$1$であるのは$n=4$のときだけで$f(4)=1$となる．さらに$N=8\text{，}10\text{，}12\text{，}15$について考えると，次表を得る．

ところで$n\geqq 4$に対して，$k$桁の数$2^n$が$1$を最高位の数字にもつための必要十分条件は

${10}^{k-1}\leqq 2^n<\boxed{\text{オ}}\cdot {10}^{k-1}$

である．この関係は

${\displaystyle \frac{k-1}{{\log }_{10}2}}\leqq n<{\displaystyle \frac{k-1}{{\log }_{10}2}}+\boxed{\text{カ}}$

と変形され，この不等式をみたす整数$n$はただ$1$つしか存在しない．

　いま，$k_0$を不等式${\displaystyle \frac{k_0-1}{{\log }_{10}2}}\leqq N$をみたす最大の整数とすると，$N$が不等式${\displaystyle \frac{k_0-1}{{\log }_{10}2}}\leqq N<{\displaystyle \frac{k_0-1}{{\log }_{10}2}}+\boxed{\text{キ}}$をみたしていれば$f(N)=k_0-\boxed{\text{ク}}\text{，}f(N-1)=k_0-\boxed{\text{ケ}}$となり，みたしていなければ$f(N)=f(N-1)=k_0-\boxed{\text{コ}}$となる．この考えをもとに$N=2001$のとき，$f(N)=\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}$を得る．このとき${\displaystyle \frac{f(2001)}{2001}}$を小数点以下第$4$位まで表すと$\boxed{\text{セ}}.\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}$になり，また$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(N)}{N}}=\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{k_0}{N}}={\log }_{10}\boxed{\text{テ}}$が成り立つ．ここに${\log }_{10}2=0.3010$とする．