2002　東北学院大学　教養（言語），法学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}=60°\text{，}\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

(ⅳ)　辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$を通り辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$の交点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$上を動くとき，$▵\mathrm{PST}$の面積の最大値を求めよ．

【２】　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行をくり返すとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$1$回投げるとき，出る目の数の和が$4$である確率

(ⅱ)　$2$回投げるとき，少なくとも$1$回は同じ目が出る確率

(ⅲ)　$4$回投げるとき，でる目の数の和が$4$以下という事象がちょうど$2$回起こる確率

【３】　$a$を正の数とする．$2$つの放物線$C_1:y=a{x}^2$と$C_2:y=5-a{x}^2$の交点をうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1$と$l_2$が垂直であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線$l_2$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　$C_1$と$l_2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【４】　正の数$a\text{，}b\text{，}c$と$0$でない数$x\text{，}y\text{，}z$が

$a^x=b^y=c^z\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}}$

を満たしているとき，$a\text{，}b\text{，}c$の間に成り立つ関係式を求めよ．

【５】　次の命題について，正しいものには真と記せ．また，正しくないものには偽と記し，反例（成り立たない例）を与えよ．ただし，$x$と$y$は実数とする．

(ⅰ)　$x<\sqrt{2}$ならば$x^2\leqq 2$である．

(ⅱ)　$xy=0$ならば$x=y=0$である．

(ⅲ)　$x+y$と$xy$が有理数ならば$x$と$y$は有理数である．

(ⅳ)　$x+y>1$ならば$x>1$または$y>0$である．

(ⅴ)　$x+y\geqq 2$かつ$xy\geqq 1$ならば$x\geqq 1$かつ$y\geqq 1$である．

【６】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$(1-2i)x^2+(3+2i)x+2+12i=0$を満たす実数$x$を求めよ．

(ⅱ)　$z^3=8i$を満たす複素数$z$を求めよ．