2002　東北学院大学　教養（情報），文学部MathJax

【１】　立方体の$6$つの面に$1\text{，}1\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}4$と書いたさいころを投げるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$1$回投げるとき，出る目の数の期待値を求めよ．

(ⅱ)　$2$回投げるとき，$2$回続けて同じ目が出る確率を求めよ．

(ⅲ)　$3$回投げるとき，出る目の数の和が$7$である確率を求めよ．

(ⅳ)　$4$回投げるとき，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率を求めよ．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=2\text{，}\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}=60°$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

(ⅲ)　辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{P}$をとる．四角形$\mathrm{ABCP}$の面積が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．

【３】　円$C_1:x^2+2x+y^2=0$と定点$\mathrm{A}(1,1)$がある．$C_1$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$に関して対称な点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが$4$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　直線$y=x+k$が，$2$つの円$C_1\text{，}{C}_2$の少なくとも一方と共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$a={\log }_{2}3\text{，}b={\log }_{3}5\text{，}c={\log }_{5}2$とするとき，次の問いに答えよ．もし必要ならば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$を用いよ．

(ⅰ)　$2^a$と$9^b$の値を求めよ．

(ⅱ)　${\log }_{10}a+{\log }_{10}b+{\log }_{10}c$の値を求めよ．

(ⅲ)　$a\text{，}b\text{，}c$を小さいものから順に並べよ．

【５】　$a\text{，}b$を定数とする．整式$x^4+x^3+x^2+x+1$を整式$x^2+ax-1$で割ると，商が$x^2-x+b\text{，}$余りが$R$であった．このとき，$a\text{，}b$の値と$R$を求めよ．

【６】　複素数$\alpha$が${\alpha }^5=1$を満たしているとき，$(1+\alpha )(1+{\alpha }^2)(1+{\alpha }^4)(1+{\alpha }^8)$の値を求めよ．