2002　東京理科大学　理学部情報数理学科MathJax

【１】　次の文章中において，$\boxed{}$にあてはまる正の整数を求めよ．そして，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字をそれぞれ解答用マークシートにマークせよ．

　$4$行$4$列の行列で，$4$個の成分が$1$で，他の$12$個の成分はすべて$0$であるものを考える．

(1)　このような行列は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}$通りある．

(2)　各行に$1$個ずつ成分$1$がある行列は$\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}$通りある．

(3)　各行各列に成分$1$が$1$個ずつある行列は$\boxed{\text{ク}\text{ケ}}$通りある．

(4)　第$1$行に成分$1$が$1$個以上ある行列は$\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}\text{ス}}$通りある．

(5)　第$1$行にも第$2$行にも成分が$1$個以上ある行列は$\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}$通りある．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^{\prime }(0)$の定義を述べよ．

(2)　$x\ne 0$では$f(x)=\sin x+x^2\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}x=0$では$f(0)=0$として定めた関数$f(x)$の$x=0$における微分係数を求めよ．

(3)　関数$F(x)$を$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{(\sin t+\cos t)}^{2}dt$と定める．

(a)　$F(x)$を求めよ．

(b)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{F(x)}{x}}$を求めよ．

(c)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{F(x)}{x}}$を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とし，$i$を虚数単位とするとき

$w=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$

とおく．複素数平面上に$z_0=1$として，複素数$z_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$z_{k+1}=(z_k-w^{k+1})w+w^{k+1}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$z_1$と$z_2$を$w$で表せ．

(2)　$z_k$を$k$と$w$で表せ．

(3)　次の値を$k$と$w$で表せ．

(a)　$|z_{k+1}-z_k|$

(b)　$\arg \left({\displaystyle \frac{z_{k+1}-w^{k+1}}{z_k-w^{k+1}}}\right)$

(4)　複素数平面上で$3$点$z_k\text{，}{w}^k\text{，}{w}^{k+1}$は一直線上にあることを証明せよ．

(5)

$a_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}|z_{k+1}-z_k|$

で$a_n$を定義する．$a_n$を$n$で表せ．また，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$

を求めよ．