2003　京都大学　前期

【１】　${\displaystyle \frac{23}{111}}$を$0.a_1{a}_2{a}_3{a}_4\cdots$のように小数で表す．すなわち小数第$k$位の数を$a_k$とする．このとき${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{3^k}}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上で，放物線$C:y=x^2+x$と，直線$l:y=kx+k-1$を考える．このとき次の問に答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$l$が相異なる$2$点で交わるような$k$の範囲を求めよ．

(2)　放物線$C$と直線$l$の$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．$k$が(1)で定まる範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{S}{L^3}}$の値のとりうる範囲を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$は次の$2$つの条件

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

(ⅱ)　$4$つの面の面積がすべて等しい

をみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．

【４】　$p$は$3$以上の素数であり，$x\text{，}y$は$0\leqq x\leqq p\text{，}0\leqq y\leqq p$をみたす整数であるとする．このとき$x^2$を$2p$で割った余りと，$y^2$を$2p$で割った余りが等しければ，$x=y$であることを示せ．

【５】　$4$チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ$1$回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．勝ち数の多い順に順位をつけ，勝ち数が同じであればそれらは同順位とする．$1$位のチーム数の期待値を求めよ．

【１】　正の数からなる数列$\{a_n\}$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたすとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(ⅰ)　$a_1=1$

(ⅱ)　$\log a_n-\log a_{n-1}=\log (n-1)-\log (n+1)\text{（}n\geqq 2\text{）}$

【２】　$f(x)=x\sin x\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における$y=f(x)$の法線と，$y=f(x)$のグラフの$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分，および$y$軸とで囲まれる図形を考える．この図形を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【４】　多項式${(x^{100}+1)}^{100}+{(x^2+1)}^{100}+1$は多項式$x^2+x+1$で割り切れるか．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$と$2$次の単位行列$E$に対して，集合$L(A)$を

$L(A)=\{rE+sA|r,s\text{は実数}\}$

とする．このとき次の条件(＊)が成立するための，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$についての必要十分条件を求めよ．

(＊)　$L(A)$の要素$B$は零行列でなければ逆行列をもつ

【６】　$n$チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ$1$回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．このとき，$(n-2)$勝$1$敗のチームがちょうど$2$チームである確率を求めよ．ただし，$n$は$3$以上とする．