2003　東北学院大学　教養（情報），文学部MathJax

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が次のようなゲームをする．$1$個のさいころを投げ，$1\text{，}2$の目が出ると$\mathrm{A}$に$4$点，$\mathrm{B}$に$0$点を与え，$3$の目が出ると$\mathrm{A}$に$4$点，$\mathrm{B}$に$3$点を与え，$4\text{，}5\text{，}6$の目が出ると$\mathrm{A}$に$0$点，$\mathrm{B}$に$3$点を与える．何回かさいころを投げて，合計得点の多い方を勝ちとするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$1$回投げるとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の得点の期待値を，それぞれ求めよ．

(ⅱ)　$1$回投げるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(ⅲ)　$2$回投げるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(ⅳ)　$3$回投げるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AC}=5\text{，}\sin A+\cos A={\displaystyle \frac{1}{5}}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$5$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\sin A$の値を求めよ．

(ⅱ)　辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(ⅳ)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

【３】　$2$次関数$f(x)$について，次の等式が成り立つことを証明せよ．ただし，$a\text{，}b$は任意の定数とする．

${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx={\displaystyle \frac{b-a}{6}}\{f(a)+4f({\displaystyle \frac{a+b}{2}})+f(b)\}$

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\sin x+\cos y=0$のとき，${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}y$の値を求めよ．

(ⅲ)　$0°<x<360°\text{，}0°<y<360°$のとき，次の連立方程式を解け．

$\sin x+\cos y=0\text{，}\cos x+\sin y=\sqrt{3}$

【５】　次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．

$1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots +n\cdot 1={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(n+2)$

【６】　$▵\mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{BP}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表わせ．

(ⅱ)　$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{AB}=9$のとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値と線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．