2003　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　座標空間の$4$点$\mathrm{A}(4,0,-6)\text{，}\mathrm{C}(6,0,-3)\text{，}\mathrm{C}(12,0,-12)\text{，}\mathrm{P}(0,6,6)$について，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}$を通る直線，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線，および，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線と$xy$平面との交点をそれぞれ，${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(2)　三角錐$\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の体積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$を$xy$平面に関して点$\mathrm{P}$と対称な点とする．$3$点$\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$を通る平面と$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(4)　三角錐$\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{D}$の体積を求めよ．

図１

図２

【２】　座標平面上に半径$1$の円$C$があり，その周上の$1$点が原点$\mathrm{O}$で固定されているとする．$C$の周上の点$\mathrm{P}$に長さ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}+1$の糸の端点が固定されていて，最初，円$C$と糸は図１の状態がある．この糸の円$C$の周上にない部分を$x$軸と平行に保ちながら，この糸の円$C$の周上にない方の端点$\mathrm{Q}$を$x$軸の負の向きに引いていく（図２参照）．すると，糸の円周上に巻きついている部分が徐々に減少し，それとともに円$C$は原点$\mathrm{O}$を固定点として回転し，やがて点$\mathrm{P}$は$y$軸上に到達する．ただし，図１，２のいずれにおいても太線が糸を表している．

(1)　円$C$が図２のように原点$\mathrm{O}$を固定点として$\theta$だけ回転したときの糸の端点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　点$\mathrm{P}$が軸上に到達するまでに糸が通過する部分は，平面上の図形$D$を描く．$D$の面積を求めよ．

(3)　図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．