2003　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　図のように，半径$2$の円$C_2$が，原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$9$の円$C_1$に内接しながらすべらずに回転するとき，円$C_2$の周上に固定された点$\mathrm{P}$の軌跡を考える．円$C_2$の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{OQ}$が$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．

　最初，円$C_2$は円$C_1$に点$\mathrm{A}(9,0)$で内接し，点$\mathrm{P}$と円$C_2$の中心$\mathrm{Q}$はそれぞれ点$\mathrm{A}$と点$(7,0)$の位置にあるものとする．

(1)　円$C_1\text{，}{C}_2$の接点を$\mathrm{R}$とするとき，$\angle \mathrm{PQR}$を$\varphi$とおく．$\varphi$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C_1$の周上にくるときの$\theta$の値を，$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲ですべて求めよ．

(3)　図において，点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とする．$x\text{，}y$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi$において，${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}\geqq 0$となることを示せ．

(5)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$の位置に戻ってくるまでに描く曲線を$C$とする．その概形を解答用紙の座標平面に描け．

(6)　(5)で定めた曲線$C$の長さを求めよ．

【２】　$1$回の試行で事象$\mathrm{H}$か事象$\mathrm{T}$のどちらかがそれぞれ確率$p\text{（}0<p<1\text{），}$確率$q\text{（}q=1-p\text{）}$で起こるとし，この試行を繰り返し$n$回行なう（$n\geqq 1$）．

(1)　$n\geqq 2\text{，}1\leqq k\leqq n-1$とし，次の事象$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を考える．

$\{\begin{array}{l}\mathrm{A}:n-1\text{回目までに}\mathrm{H}\text{がちょうど}k-1\text{回起こり，}n\text{回目に}\mathrm{H}\text{が起こる}\\ \mathrm{B}:n-1\text{回目までに}\mathrm{H}\text{がちょうど}k\text{回起こり，}n\text{回目に}\mathrm{T}\text{が起こる}\end{array}$

$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$が起こるという事象の確率を求めよ．

(2)　$n$回中$\mathrm{H}$が偶数回起こるという事象を考え，その確率を$r_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$で表す．$0$は偶数であるから$r_1=q$である．このとき$r_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(q-p)}^n$となることを，$n$に関する数学的帰納法で証明せよ．

(3)　$pn=1\text{，}n\geqq 2$のとき，$n$回中$\mathrm{H}$がちょうど$2$回起こる確率を$a_n$で表す．

(a)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(b)　数列$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}\cdots$について$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(4)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}n=10$とするとき，$\mathrm{H}$が続いて起こることのない確率$R$を求めたい．最初に(a)に答え，続いて(a)をヒントしにして，(b)に答えよ．

(a)　$3$個の$1$と$7$個の$0$を一列に並べる並べ方のうち，$1$が隣り合うことのない並べ方が$N$通りあるとし，$N$の値を求めたい．まず，$0$を$7$個一列に並べておく．最初の$0$の前，$0$と次の$0$の間，最後の$0$の後，の全部で$8$箇所のうち，$3$箇所に$1$を$1$個ずつ置くという考え方がある．この考え方によって，$N$の値を求めよ．

(b)　確率$R$を求めよ．