2004　東京大学　後期MathJax

【１】　$r$は正の実数とし，角$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を${\mathrm{P}}_0\text{，}(1,0)$を${\mathrm{P}}_1$として，点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$を，以下の条件(a)，(b)，(c)が$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して満たされるようにとる．

• (a)　${\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+2}=r{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$
• (b)　$\angle {\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+2}=\theta$
• (c)　点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{P}}_{n+2}\text{，}{\mathrm{P}}_{n+3}$は同一直線上にある．

　このとき次の問に答えよ．

(1)　$r$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする．複素数$z_n=x_n+y_{n}i$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$がともに収束するための必要十分条件は${\displaystyle \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}}$であることを証明せよ．

　以下${\displaystyle \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}}$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を，それぞれ$\theta$の関数と考えて，$\alpha (\theta )\text{，}\beta (\theta )$とおく．

(4)　極限値

$\underset{\theta \to \frac{\pi }{3}+0}{\lim }\alpha (\theta )\text{，}\underset{\theta \to {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+0}{\lim }\beta (\theta )$

をそれぞれ求めよ．

(5)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}}$における$\beta (\theta )$の最大値を求めよ．

【２】　集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\mathrm{A}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\text{，}B=\{0,1\}$とし，$N$を$3$以上の整数とする．また，各項が$0$または$1$からなる数列を$01$数列と呼ぶことにする．

　$01$数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$に対し，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への写像$f$を用いて，新しい$01$数列$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_N$を，

• $b_1=f(a_1)\text{，}{b}_2=f(2a_1+a_2)\text{，}$
• $b_k=f(4a_{k-2}+2a_{k-1}+a_k)\text{（}k=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$

と定め，$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_N$は$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$から$f$によって得られるという．ただし，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への写像$f$とは，$\mathrm{A}$の各要素$x$に対して$\mathrm{B}$の要素$f(x)$をただひとつ対応させる規則をさすものとする．

　次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への写像は，全部で何通りあるか．

(2)　$f(0)=f(3)=f(4)=f(7)=0\text{，}f(1)=f(2)=f(5)=f(6)=1\text{，}$であるとき，

$b_k={\displaystyle \frac{1}{2}}\{1+{(-1)}^k\}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$

となるような$01$数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への写像$f$が，条件

(P)　$f(2m)\ne f(2m+1)\text{（}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

を満たすとする．このような$f$は何通りあるか．

(4)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への写像$f$が条件(P)を満たすならば，どのような$N$項からなる$01$数列も，ある$01$数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$から$f$によって得られることを示せ．

【３】　$xy$平面に点$(-1,0)$を中心とする半径$1$の円$A$と，点$(1,0)$を中心とする半径$1$の円$B$をとる．円$A$の内部を$D\text{，}$円$B$の内部を$E$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　点$(-1+\cos \theta ,\sin \theta )$における円$A$の接線を$l$とする．円$B$の接線$m$が$l$と直交するとき，$l$と$m$の交点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　領域$D$にも$E$にも重ならないように$1$辺の長さが$2$の正方形を$xy$平面内で動かすとき，この正方形が通りえない部分の面積を求めよ．