2004　京都大学　前期

$f(-1)=f(0)=1\text{，}f(1)=-2$

を満たし，またそのグラフが右図のようになっているという．

　このとき，

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx\geqq -1$

を示せ．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=5\text{，}$$\cos (\angle \mathrm{AOB})={\displaystyle \frac{3}{5}}$

とする．このとき，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と，$\mathrm{B}$を中心とする半径$\sqrt{10}$の円との交点の，$\mathrm{O}$を原点とする位置ベクトルを，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$x^2+(3-2c)x+c^2+5=0$

が$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$を持つとする．複素平面上の$3$点$\alpha \text{，}\beta \text{，}{c}^2$が$3$角形の$3$頂点になり，その$3$角形の重心は$0$であるという．$c$を求めよ．

(注意)　複素平面のことを複素数平面ともいう．

(＊)　$a^2+b^2=2^n$

を考える．

(1)　$n\geqq 2$とする．$a\text{，}b$が方程式(＊)を満たすならば，$a\text{，}b$はともに偶数であることを証明せよ．（ただし，$0$は偶数に含める．）

(2)　$0$以上の整数$n$に対して，方程式(＊)を満たす$0$以上の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

$f(x)={\displaystyle (\frac{e}{x^{\alpha }}-1)\frac{\log x}{x}}$

を考える．$y=f\left(x\right)$のグラフより下側で$x$軸より上側の部分の面積を$\alpha$であらわせ．

　ただし，$e$は自然対数の底である．

$x^{2n}=P_n(x)(x^2-x+{\displaystyle \frac{n-1}{n^2}})+a_{n}x+b_n$

が成り立っているとする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$

とする．次の(＊)が成り立つための実数$\alpha \text{，}\beta$についての必要十分条件を求めよ．

(＊)　どんな$2$次正方行列$Y$に対しても，$2$次正方行列$X$で$AX-XB=Y$となるものがある．

(注意)　複素平面のことを複素数平面ともいう．

(＊)　$k$以外の番号の$N$個の箱から$1$個の箱を選び，その箱の中身と番号$k$の箱の中身を交換する．（ただし，$N$個の箱から$1$個の箱を選ぶ事象は，どれも同様に確からしいとする．）

　操作がすべて終了した後，赤玉が番号$N+1$の箱に入っている確率を求めよ．