2004　京都大学　後期

【１】　実数$a$に対して，$2$つの放物線

• $C_1:y=2-x^2$
• $C_2:y=x^2-4x+a$

を考える．$C_1\text{，}{C}_2$が$y>0$である交点を$2$つ持つような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$x\geqq 0$に対して．関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{のとき）}\\ 0& \text{（}x>1\text{のとき）}\end{array}$

　自然数$k$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^3}f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)dx$

を求めよ．

【３】　関数$f(x)$が次の$2$つの性質(1)，(2)を持つという．

• (1)　任意の実数$x\text{，}y$に対して，$f(x+y)=f(x)f(y)$が成り立つ．
• (2)　$f(3)=8$

　このとき，$f(1)=2$であることを証明せよ．（ただし，$f(x)$は実数であるとする．）

【４】　複素数$z$の絶対値を$|z|$であらわす．$|it+1+\alpha |\leqq 1$を満たす実数$t$が存在するような複素数$\alpha$の範囲を，複素平面上で図示せよ．（ただし，$i$は虚数単位をあらわす．）

(注)　複素平面のことを複素数平面ともいう．

【５】　水平面$V$上の$3$点を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OB}$上にあり，線分$\mathrm{AB}$の長さは$1$メートルであるとする．$\mathrm{O}$から，$V$と垂直に棒が立っている．棒の先端$\mathrm{X}$を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から見たときの仰角がそれぞれ$45°\text{，}44°$であったという．棒の長さは何メートルか．小数点以下を四捨五入して答えよ．

　ただし，$0.01745<\tan 1°<0.01746$である．

【１】　$x\geqq 0$に対して，関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{のとき）}\\ 0& \text{（}x>1\text{のとき）}\end{array}$

このとき，

$\underset{n\to +\infty }{\lim }n{\displaystyle {\int }_0^1}f(4nx(1-x))dx$

を求めよ．

【２】　複素数$z$の絶対値を$|z|$で表す．$|(1+i)t+1+\alpha |\leqq 1$を満たす実数$t$が存在するような複素数$\alpha$の範囲を，複素平面上で図示せよ．（ただし，$i$は虚数単位をあらわす．）

(注)　複素平面のことを複素数平面ともいう．

【３】　平面ベクトル$\overrightarrow{x}$に対して実数$f(\overrightarrow{x})$を対応させる写像$f(\overrightarrow{x})$が次の性質(＊)を持っている．

(＊)　任意の平面ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$に対して，$f(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=f(\overrightarrow{a})+f(\overrightarrow{b})$が成り立つ．

このとき，任意の平面ベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，

$f({\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}f(\overrightarrow{x})$

が成り立つことを証明せよ．

【５】　$n$を自然数とする．次の$3$つの不等式(1)，(2)，(3)をすべて満たす自然数の組$(a,b,c,d)$はいくつあるか．$n$を用いてあらわせ．

• (1)　$1\leqq a<d\leqq n$
• (2)　$a\leqq b<d$
• (3)　$a<c\leqq d$

【５】　$n$を自然数とする．$xy$平面内の，原点を中心とする半径$n$の円の，内部と周をあわせたものを$C_n$であらわす．次の条件(＊)を満たす$1$辺の長さが$1$の正方形の数を$N(n)$とする．

(＊)　正方形の$4$頂点はすべて$C_n$に含まれ，$4$頂点の$x$および$y$座標はすべて整数である．

このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{N(n)}{n^2}}=\pi$

を証明せよ．