2004　神戸大学　後期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が極値をとる点をもつための条件を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$1$つのサイコロを$3$回ふって出た目の数を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．$a\text{，}b\text{，}c$が(1)の条件をみたす確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を実数とし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)　方程式$x^2+2ax+5=0$の$2$つの解および方程式$x^2-6x+b=0$の$2$つの解が表す複素数平面上の点が正方形の$4$頂点になるとする．このときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　上の正方形の$4$頂点を原点のまわりに反時計まわりに$45°$回転した点を表す複素数を$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}{z}_4$とする．これらの積$z_1{z}_2{z}_3{z}_4$の値を求めよ．

【３】　$a$は実数とする．$0°\leqq \theta \leqq 360°$に対して

$f(\theta )=(\cos 2\theta -2\sin \theta -a)(\cos 2\theta -2\sin \theta )$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　$t=\cos 2\theta -2\sin \theta \text{，}x=\sin \theta$とするとき，$t$を$x$を用いて表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$の最小値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．点$(0,a)$を通り曲線$xy=1$に接する直線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$が別の曲線$xy=-1$と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を頂点とする三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は$a$の値によらず一定であることを示せ．

【３】　$f(x)=x^2+ax+b$とする．次の問に答えよ．

(1)　整式$P(x)$を$f(x)$で割った余りを$c+d\text{，}xP(x)$を$f(x)$で割った余りを$qx+r$とするとき，$q$と$r$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　$x^{2004}$を$f(x)$で割った余りが$2x+1\text{，}{x}^{2005}$を$f(x)$で割った余りが$x+2$となるような$a\text{，}b$はない．その理由を述べよ．

【４】　平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2)\text{，}\mathrm{P}(x,0)$をとり，$\angle \mathrm{APB}=\theta (0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}t=\tan \theta$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$が一直線上にあるときの$x$の値$x_0$を求めよ．

(2)　$x\geqq x_0$において，$t$を$x$の関数として表せ．

(3)　$x\geqq x_0$において，$t$を最大にする$x$の値を求めよ．

【５】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が以下の$3$つの条件をみたすとする．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c$は整数で，$b<0$である

(ⅱ)　$f(x)$は$-1<x<1$の範囲内に極大値をとる点および極小値をとる点をもつ

(ⅲ)　$-1\leqq x\leqq 1$をみたす任意の実数$x$に対し，$|f(x)|\leqq 1$が成り立つ

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が$x=\alpha \text{，}x=\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$で極値をとるならば，$-1<\alpha <0<\beta <1$であることを示せ．

(2)　$c$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}b$の値を求めよ．