2004　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3+p{x}^2+qx$（$p\text{，}q$は定数）は，$x=a\text{，}x=b\text{（}0<a<b\text{）}$で極値をとるとする．また，曲線$y=f(x)$上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(b,f(b))$に対して，$\angle \mathrm{AOB}$が$x$軸によって$2$等分されているものとする．

問１　${\displaystyle \frac{f(a)}{a}}=-{\displaystyle \frac{f(b)}{b}}$を示せ．

問２　$p^2=6q$を示せ．

問３　${\displaystyle \frac{b}{a}}$の値を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して

$x=a+b+c$

$y=a^2+b^2+c^2$

$z=abc$

$w=a^4+b^4+c^4$

とおく．

問１　$ab+bc+ca$を，$x\text{，}y$を用いて表せ．

問２　$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$を，$x\text{，}y\text{，}z$を用いて表せ．

問３　$x=1\text{，}z=1\text{，}w=35$のとき，$y$の値を求めよ．

【３】　$2$つの複素数

$\alpha =\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1\text{，}\beta =\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2$

の偏角${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$は，$0°<{\theta }_1<180°<{\theta }_2<360°$をみたすものとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．

問１　$\alpha +1$を極形式で表せ．

問２　${\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}}$の実部の値を求めよ．

問３　${\displaystyle \frac{\alpha +1}{\beta +1}}$の実部が$0$に等しいことは，$\beta =-\alpha$であるための必要十分条件であることを示せ．

【４】　$1$個のさいころを投げ，出た目が$3$か$6$のとき持ち点に$1$を加え，それ以外のときは$1$だけ減らすことを繰り返すゲームをする．はじめの持ち点を$2$とし，持ち点が$0$または$n$になればゲームは終了するものとする．

問１　$n=3$とする．ちょうど$5$回投げたときに，ゲームが終了する確率を求めよ．

問２　$n=4$とする．ちょうど$6$回投げたときに，ゲームが終了する確率を求めよ．

【１】　自然数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{-x}dx$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．

問１　次の関係式が成り立つことを示せ．

$I_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{e}}+(n+1)I_n$

問２　次の等式を示せ．

$I_n={\displaystyle \frac{n!}{e}}(e-1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}})$

【２】　$x>0$の範囲で，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$

を考える．

問１　$f(x)$は，$0<x\leqq \pi$において減少することを示せ．

問２　$n$を自然数とする．$f(x)$が極小値，極大値をとる$x$のうちで，

$(2n-1)\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi$

をみたすものが，それぞれちょうど$1$つずつ存在することを示せ．

問３　$f(x)$が極値をとる$x$の値を小さい方から順に，

$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots \text{（}0<x_1<x_2<x_3<\cdots \text{）}$

とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n=0$

を示せ．

【３】　$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$s=-(a+d)\text{，}t=ad-bc$とおく．$P=\left(\begin{array}{cc}p& x\\ q& y\end{array}\right)$について，$AP=P\left(\begin{array}{cc}0& -t\\ 1& -s\end{array}\right)$となるための必要十分条件は，

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$

であることを示せ．

【４】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,-t)\text{，}\mathrm{B}(0,-t)(0<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$に対し，$y$軸上に$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の順に並ぶ点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を

$\angle \mathrm{BAO}=\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{CAD}$

となるようにとる．また，線分$\mathrm{BA}$上の点$\mathrm{E}$を

$3\angle \mathrm{BDE}=\angle \mathrm{BDA}$

となるようにとる．

問１　直線$\mathrm{AC}$の方程式を求めよ．

問２　直線$\mathrm{DE}$の方程式を求めよ．

問３　直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}(x_1,y_1)$とするとき，${\displaystyle \frac{y_1}{x_1}}$の値を求めよ．