2004　立命館大　法学部，産業社会Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　連立方程式

$\{\begin{array}{ll}{\alpha }^3\cdot {\beta }^2=1& \cdots \text{①}\\ {\alpha }^{\frac{1}{2}}\cdot {\beta }^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=8& \cdots \text{②}\end{array}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}$の両辺の対数をとると，

$\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{ア}}=0& \cdots \text{③}\\ \boxed{\text{イ}}=3& \cdots \text{④}\end{array}$

となり，$\text{③}\text{，}\text{④}$の方程式を解くと，

$\alpha =\boxed{\text{ウ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{エ}}$

となる．

(2)　このとき，$2$次関数

$y=\boxed{\text{ウ}}{x}^2+px+\boxed{\text{エ}}\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

の最小値が$-p+{\displaystyle \frac{33}{8}}$となるような$p$の値の範囲は$p\geqq \boxed{\text{オ}}$である．

(3)　(1)で求めた$\alpha$を初項とする等比数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$が，$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_2$を満たしている．このとき公比は$\boxed{\text{カ}}$であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{511}{1024}}$

となるのは$n=\boxed{\text{キ}}$のときである．

【２】　方程式$x^5-x^4+x^3-x^2+x-1=0$を複素数の範囲で解くと，解は

$x=\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}$

となる．この$5$つの解のなかから，$2$個を重複を許さずに無作為に選び，それぞれを$3$乗して足し合わせると，とりうる値は大きい順に$\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{ セ}}\text{，}\boxed{\text{ソ}}$となり，それらの値をとる確率はそれぞれ$\boxed{\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{チ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}$で，期待値は$\boxed{\text{テ}}$となる．

【３】　$xy$平面において，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+px+q$が直線$y=kx$および$y=-{\displaystyle \frac{1}{k}}x$の両方に接するとき，以下の問いに答えよ（ただし$k>0$）．

(1)　$p$と$q$を$k$で表せ．

(2)　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+px+q\text{，}$直線$y=kx$および$y=-{\displaystyle \frac{1}{k}}x$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$S$の最小値を求めよ．