2004　立命館大　理系学部Ａ方式2月8日実施MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面で，曲線

$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（ただし，}x>0\text{）}\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　$a\text{，}k$を正の実数とし，$2$点$\mathrm{A}(a,a)$と$\mathrm{B}(-a,-a)$をとる．いま，曲線$\text{①}$上のどのような点$\mathrm{X}$に対しても

$\mathrm{BX}-\mathrm{AX}=k$

が成り立つとする．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}k=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$p>1$とする．点$\mathrm{P}(p,p)$と曲線$\text{①}$上の点$\mathrm{Q}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$をとり，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の間の距離を$L$とおく．このとき，$p$と$t$を用いて

$L=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

と表される．

　$1<p\leqq \boxed{\text{エ}}$の場合，$t=\boxed{\text{オ}}$のとき，$L$は最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

　$p>\boxed{\text{エ}}$の場合，$t=\boxed{\text{キ}}\text{または}\boxed{\text{ク}}$（ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}$とする）のとき，$L$は最小値$\boxed{\text{ケ}}$をとる．また，点$(\boxed{\text{キ}},{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キ}}}})$を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$点$(\boxed{\text{ク}},{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}})$を${\mathrm{Q}}_2$とするとき，曲線$\text{①}$と$2$線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_2$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．ただし，$2$辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$が隣り合うように頂点を定める．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$上に$\angle \mathrm{PQR}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるようにとり，$\mathrm{P}$は$\mathrm{B}$と異なり，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{C}$と異なるものとする．$x=\mathrm{PB}\text{，}\theta =\angle \mathrm{BPQ}\text{（}\theta \text{は鋭角）}$とおく．このとき，$x$と$\theta$を用いて$\mathrm{BQ}=\boxed{\text{サ}}$と表され，$\theta$を用いて$\mathrm{QR}=\boxed{\text{シ}}\mathrm{QC}$と表される．

　いま，三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形であるとし，その一辺の長さの最大値と最小値を求めたい．このとき，$x$を用いて

$\tan \theta =\boxed{\text{ス}}$

と表され，$\mathrm{PQ}$も$x$を用いて

$\mathrm{PQ}=\boxed{\text{セ}}$

と表される．

　また，$x$を用いて

$\mathrm{CR}=\boxed{\text{ソ}}$

となるから，$\boxed{\text{タ}}\leqq x\leqq 1$である．

　したがって，$\mathrm{PQ}$は，$x=\boxed{\text{タ}}$または$x=1$のとき最大値$\boxed{\text{チ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ツ}}$のとき最小値$1$をとる．

【３】　$n$を$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9$の中の$1$つの数とする．$n$桁の正の整数で，各桁の数が$1$から$n$までのどれかの数となっているもの全部の集合を$\mathrm{A}(n)$とおく．例えば，$n=3$のとき

$\begin{array}{ll}\mathrm{A}(3)=\{& 111,112,113,121,122,123,131,132,133,\\ \mathrm{ }& 211,212,213,221,222,223,231,232,233,\\ \mathrm{ }& 311,312,313,321,322,323,331,332,333\}\end{array}$

である．また，$\mathrm{A}(n)$の要素となっている最も小さい数を$L_n$とおく．

(1)　$\mathrm{A}(n)$の要素の個数は$\boxed{\text{テ}}$個である．

(2)　$\mathrm{A}(n)$の要素で各桁の数がすべて異なっているものは全部で $\boxed{\text{ト}}$個である．

(3)　$\mathrm{A}(5)$の要素$a$で，「$a+b$が$\mathrm{A}(5)$の要素となる$\mathrm{A}(5)$の要素$b$が少なくとも$1$つとれる」を満たすものは全部で$\boxed{\text{ナ}}$個ある．

(4)　$\mathrm{A}(5)$の要素で，その数が$22222$以下のものは全部で$\boxed{\text{ニ}}$個ある．

(5)　$\mathrm{A}(n)$の要素となっている数をすべて加えると$\boxed{\text{ヌ}}{L}_n$になる．

(6)　$\mathrm{A}(n)$の要素で各桁の数がすべて異なっているものをすべて加えると$\boxed{\text{ネ}}{L}_n$になる．

　ただし，(2)，(6)については，$n\geqq 2$とする．

【４】(1)　$\alpha ={\displaystyle \cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}}\text{，}f(x)=z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1$とおく．ただし，$i$は虚数単位とする．

(ⅰ)　$\alpha$を用いて，$f(x)=0$の解をすべて$\boxed{\text{ノ}}$に記入せよ．

(ⅱ)　

$g(z)=(z-1)(z^2-1)(z^4-1)\text{，}$

$h(z)=(z^3-1)(z^5-1)(z^6-1)$

とおくと，

$g(\alpha )+h(\alpha )=\boxed{\text{ハ}}\text{，}g(\alpha )h(\alpha )=\boxed{\text{ヒ}}$

となる．これらを利用して

$g(\alpha )=\boxed{\text{フ}}\text{，}h(\alpha )=\boxed{\text{ヘ}}$

となることがわかる．（ただし，$\boxed{\text{ハ}}\text{〜}\boxed{\text{ヘ}}$は$\alpha$を用いずに答えよ．）

(2)　(1)の結果を用いて

${\displaystyle \sin \frac{2\pi }{7}\sin \frac{4\pi }{7}\sin \frac{6\pi }{7}}=\boxed{\text{ホ}}$

が得られる．