2005　東北学院大学　前期工(機械創成工,物理情報工学科)学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　$f(x)=x^3+2x^2-5x+2$とする．$x$の整式$g(x)$で$f(x)$を割ると商が$x-1$で，余りは$r(x)=ax+b$（$a\text{，}b$は定数）であるという．さらに，$g(x)$は$r(x)$で割り切れるという．$g(x)$を求めると$\boxed{}$である．

【２】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　$a_1=3\text{，}{a}_k=5a_{k-1}-4\text{（}k=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$で決まる数列の一般項を求めると$a_n=\boxed{}$であり，この数列の第$1$項から第$n$項までの和は$\boxed{}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　次の$8$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$を頂点とする立方体を$V$とする．

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(3,3,0)\text{，}\mathrm{C}(0,3,0)$

$\mathrm{D}(0,0,3)\text{，}\mathrm{E}(3,0,3)\text{，}\mathrm{F}(3,3,3)\text{，}\mathrm{G}(0,3,3)$

$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}(0,{\displaystyle \frac{9}{2}},0)\text{，}\mathrm{Q}(0,0,{\displaystyle \frac{9}{2}})$を通る平面のうちで立方体$V$に含まれる部分の面積を求めると$\boxed{}$である．

【２】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　点$\mathrm{A}(3,2,3)\text{，}\mathrm{B}(1,3,1)\text{，}\mathrm{C}(2,1,0)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と同じ向きの単位ベクトルを成分で表示すると$\boxed{}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直な単位ベクトルを成分で表示すると$\boxed{}$である．

【１】　放物線$y=2x^2-ax+1$と直線$y=x-1$が共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

【２】　平地に$3$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{H}$がある．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は$100\mathrm{m}$離れており，$\mathrm{H}$の上に建つ塔$\mathrm{CH}$の先端$\mathrm{C}$を$\mathrm{B}$から見上げると仰角（$\angle \mathrm{CBH}$）は$30\mathrm{°}$であった．また，$\angle \mathrm{CAB}=45\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{CBA}=75\mathrm{°}$であった．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　塔$\mathrm{CH}$の高さを求めよ．

(3)　一般に上と同じ状況で，$\mathrm{AB}=l\text{，}\angle \mathrm{CAB}=A\text{，}\angle \mathrm{CBA}=B$とし，$\mathrm{B}$から見た仰角を$\theta$としたとき，塔の高さを$l\text{，}A\text{，}B\text{，}\theta$を用いて表せ．

【１】　点$\mathrm{P}$が，円$C:x^2+y^2=9$上を動くとき，点$\mathrm{A}(4,6)$と点$\mathrm{P}$との中点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【２】　$f(x)={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+{\displaystyle \frac{9}{4}}\sin x\cos x$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおくとき，$t$のとる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

【１】　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-x}dx$

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　点$(t,f(t))$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　接線$l$が原点を通るとき，$y=f(x)$のグラフと$l$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

注　数学A，数学Bから１科目，数学I，II，IIIから２科目選択