2005　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(1)(a)　$a\text{，}b$は実数，$b\ne 0$とする．$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ s& t\end{array}\right)$が

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)P=P\left(\begin{array}{cc}a+b& 0\\ 0& a-b\end{array}\right)$

を満たすとき，$s=\boxed{\text{ア}}\text{，}t=-\boxed{\text{イ}}$である．$P$の逆行列$P^{-1}$を，$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{q}_1& q_2\\ q_3& q_4\end{array}\right)$とするとき，

$q_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}{q}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}{q}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}{q}_4=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

(b)　$n$は自然数とする．

${\left(\begin{array}{cc}34& 18\\ 18& 34\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ e& f\end{array}\right)$

とするとき，

$2e={\boxed{\text{サ}\text{シ}}}^n-{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}^n$

$2f={\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}^n+{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}^n$（ただし$\boxed{\text{ソ}\text{タ}}>\boxed{\text{チ}\text{ツ}}$）

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(2)　$i$は虚数単位とし（$i^2=-1$），$\beta =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とすると，${\beta }^{\boxed{\text{テ}}}-1=0$より（ただし$\boxed{\text{テ}}\ne 0$）

${\beta }^4+{\beta }^3+\boxed{\text{ト}}{\beta }^2+\beta +1=0$

である．これより

${\beta }^2+\beta +\boxed{\text{ナ}}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}=0$

が得られ，

${(\beta +{\displaystyle \frac{1}{\beta }})}^2+(\beta +{\displaystyle \frac{1}{\beta }})-\boxed{\text{ニ}}=0\cdots \text{①}$

となる．さて

${\displaystyle \frac{1}{\beta }}=\boxed{\text{ヌ}}\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}-i(\boxed{\text{ネ}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}})$

であるから，$\beta +{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$は正の実数である．ゆえに$\text{①}$より

$\beta +{\displaystyle \frac{1}{\beta }}={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

となり，

$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{フ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

が得られる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　$a\text{，}b$を正の定数とし，$xy$平面上の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$を$C$で表す．$C$上に$3$頂点をもち，$1$辺が$x$軸に平行な正三角形は$2$つ存在する．そのうちの$1$つの正三角形の$3$頂点は，ある実数$u\text{，}v$により$(-u,v)\text{，}(0,b)\text{，}(u,v)$のように表される．ただし$0<u\leqq a\text{，}-b<v<b$である．

　この$3$点が$C$上にあるという条件と，正三角形の頂点であるという条件は，

${\displaystyle \frac{u^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{v^2}{b^2}}=1$，

$\boxed{\text{マ}}{u}^2=u^2+{(b-v)}^2$

と表される．これを解くと，

$v={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ミ}}{a}^{\boxed{\text{ム}}}{b}^{\boxed{\text{メ}}}+b^{\boxed{\text{モ}}}}{\boxed{\text{ヤ}}{a}^2+\boxed{\text{ユ}}{b}^2}}\text{，}u={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}{a}^{\boxed{\text{リ}}}{b}^{\boxed{\text{ル}}}}{\boxed{\text{ヤ}}{a}^2+\boxed{\text{ユ}}{b}^2}}$

である．

　もう$1$つの正三角形の$C$上にある頂点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$とし，辺${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$が$x$軸に平行とすると，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標はそれぞれ$(-u^{\prime },v^{\prime })\text{，}(u^{\prime },v^{\prime })$としてよい．ただし，$0<u^{\prime }\leqq a\text{，}-b<v^{\prime }<b$である．このとき

$v^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}{a}^{\boxed{\text{ロ}}}{b}^{\boxed{\text{あ}}}-b^{\boxed{\text{い}}}}{\boxed{\text{う}}{a}^2+\boxed{\text{え}}{b}^2}}\text{，}{u}^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{お}}\sqrt{\boxed{\text{か}}}{a}^{\boxed{\text{き}}}{b}^{\boxed{\text{く}}}}{\boxed{\text{う}}{a}^2+\boxed{\text{え}}{b}^2}}$

である．

【２】　$t\text{，}u\text{，}a\text{，}b\text{，}r\text{（}r>0\text{）}$は実数とする．円$C$の方程式は${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$とし，点$\mathrm{P}(t,u)$は円$C$上の点とする（ただし$u\ne b$）．

(1)　点$\mathrm{P}(t,u)$における円$C$の${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$の値，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$の値を，$t\text{，}u\text{，}a\text{，}b\text{，}r$で表せ．

注意：

$g(x)=b-\sqrt{r^2-{(x-a)}^2}$（$a-r<x<a+r$），

$h(x)=b+\sqrt{r^2-{(x-a)}^2}$（$a-r<x<a+r$）

とするとき，$y=g(x)$のグラフは円$C$の下側の部分$C_1$を表し，$y=h(x)$のグラフは円$C$の上側の部分$C_2$を表す．例えば点$\mathrm{P}(t,v)$が$C_1$上にあるとき（$b-r\leqq u<b$），点$\mathrm{P}(t,u)$における円$C$の${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$の値，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$の値とは，それぞれ$g^{\prime }(t)\text{，}{g}^{″}(t)$のことである．

(2)　$f(x)=e^x$とする（$e$は自然対数の底）．点$\mathrm{P}(t,u)$が曲線$y=f(x)$上にあり（$u=e^t\ne b$），かつ点$\mathrm{P}(t,e^t)$における円$C$の${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$の値，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$の値がそれぞれ$f^{\prime }(t)\text{，}{f}^{″}(t)$に等しいとする．このとき，$a\text{，}b\text{，}r$を$t$の式で表せ．

(3)　(2)の条件のもとで，$t$がすべての実数を動くときの$r$の最小値と，$r$を最小にする$t$の値を求めよ．

【３】　直線$l_m:y=mx$と曲線$C_m:y=mx+\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について次の問に答えよ．ただし$m$は自然数とする．

(1)　曲線$C_m$上の点$\mathrm{P}(t,mt+\sin t)$を通り直線$l_m$に垂直な直線が，$l_m$と交わる点を$\mathrm{H}$とする．

(a)　$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．

(b)　$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

(2)　直線$l_m$と曲線$C_m$で囲まれる図形を，直線$l_m$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V_m$を求めよ．

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{m}^2(V_m-V_{m+1})$を求めよ．