2005　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)(a)　${\displaystyle \int }(x\cos x-\sin x)dx$を求めよ．

(b)　方程式$x\cos x-\sin x=0$は$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲でいくつ解をもつか．

(c)　$|x\cos x-\sin x|$の$-\pi \leqq x\leqq \pi$における最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

(2)　次の問題(a)，(b)，(c)においては，$x\text{，}y$を実数とし，$z$の$2$次式$f(z)$を

$f(z)=z^2+yz+{(x\cos x-\sin x)}^2$

により定める．

(a)　$z$の$2$次方程式$f(z)=0$が実数解を持たないための必要十分条件を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(b)　$xy$平面において，$x$と$y$が(a)で求めた条件を満たし，かつ$x$が$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲にあるような点$(x,y)$全体がなす領域を$S$とするとき，$S$の面積を求めよ．

(c)　点$(x,y)$が(b)の領域$S$全体の上を動くとき，$f(z)=0$の解全体がなす領域を解答用紙の複素数平面に図示せよ．

【２】　$0$以上の整数$n$に対して，方程式$2x+y+z=n$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}y\text{，}z$の組$(x,y,z)$の個数を$a_n$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$a_4$を求めよ．

(2)　一般の$n$に対して$a_n$を求めよ．

(3)　$2x+y+z\leqq 2n$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}y\text{，}z$の組$(x,y,z)$の個数を$n$を用いて表せ．