2005　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】(1)　$t$を実数とする．整式$f(x)$を${(x-t)}^2$で割った余りは$\boxed{\text{ア}}{f}^{\prime }(t)+f(t)$である．よって，方程式$f(x)$の解$t$がこの方程式の重解であるための必要十分条件は，$f^{\prime }(t)=\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$t$が$f(x)=0$の重解であるとは，$f(x)$が${(x-t)}^2$で割り切れることである．

(2)　$a，b$を実数として$4$次式$f(x)=3x^4-4x^3-6a^2{x}^2+12a^{2}x+b$について考える．$f(x)=0$が実数の重解を持つのは$b$が$a$を用いて$b=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$または$b=\boxed{\text{エ}}\text{，}$または$b=\boxed{\text{オ}}$と表される$3$つの場合である．重解が$2$つあるのは，条件$a>0，a\ne 1$のもとでは$a=\boxed{\text{カ}}，b=\boxed{\text{キ}}$のときで，その$2$つの重解は$\boxed{\text{ク}}$と$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　$f(x)，g(x)$は$-\infty <x<\infty$で定義された実数値関数で，${f(0)}^2+{g(0)}^2>0$とする．また，任意の実数$x，y$に対して，次の等式$\text{①}\text{，}\text{②}$を満たしているものとする．

$f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)\cdots \text{①}$

$g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\cdots \text{②}$

(1)　 $f(0)$と$g(0)$を求め，その計算過程も含めて$\boxed{\text{コ}}$に記入せよ．

(2)　等式$\text{①}\text{，}\text{②}$より，$y\ne 0$に対して

${\displaystyle \frac{f(x+y)-f(x)}{y}}=\boxed{\text{サ}}f(x)-\boxed{\text{シ}}g(x)$

${\displaystyle \frac{g(x+y)-g(x)}{y}}=\boxed{\text{シ}}f(x)+\boxed{\text{サ}}g(x)$

である．ただし，$\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}$は $y$の関数である．したがって，もし，$f(x)，g(x)$が$x=0$で微分可能で$f^{\prime }(0)=2，g^{\prime }(0)=1$であるならば，$f(x)，g(x)$はすべての$x$で微分可能で，

$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ス}}$

$g^{\prime }(x)=\boxed{\text{セ}}$

という関係式が成り立つ．このとき，$F(x)=\log \{{f(x)}^2+{g(x)}^2\}$とおくと，その導関数は定数で$F^{\prime }(x)=\boxed{\text{ソ}}$となる．このことと(1)の結果より$F(x)=\boxed{\text{タ}}$となるので，${f(x)}^2+{g(x)}^2=\boxed{\text{チ}}$となることがわかる．

【３】　$xy$平面において，放物線$y=x^2-1$の一つの接線を$l_1:y=kx+a$とする．放物線$y=-{(x-4)}^2$の接線で，$l_1$に平行なものを$l_2:y=kx+b$とする．ただし，$k>0$とする．

(1)　このとき，$a，b$は$k$を用いて$a=\boxed{\text{ツ}}，b=\boxed{\text{テ}}$と表される．

(2)　$a>b$となるための$k$の範囲は$\boxed{\text{ト}}$である．このとき，接線$l_1$上の任意の点と接線$l_2$との距離$d$は$k$を用いて$d=\boxed{\text{ナ}}$と表される．これより，$d$が最大となるのは$k=\boxed{\text{ニ}}$のときで，最大値は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

【４】　等式

${(a+b)}^N={\displaystyle \sum _{k=0}^N}{}_{N}C_k{a}^k{b}^{N-k}\text{，}{}_{N}C_k={\displaystyle \frac{N!}{k!(N-k)!}}$

を二項定理という．これを利用して以下の設問に答えよ．

　表の出やすい銅貨を$N$回投げる．そのうち，表が偶数回（$0$回を含む）出る確率を$P_e$とし，表が奇数回出る確率を$P_o$として，$P_e$と$P_o$の大小関係を調べたい．

　まず，奇数の$N=2m+1$について調べてみる．$1$回投げて表が出る確率を$p$とすれば，$N$回のうちで表が$k$回でる確率は${}_{N}C_k\boxed{\text{ネ}}$であるから，

$P_e={\displaystyle \sum _{k=0}^m}\boxed{\text{ノ}}，P_o={\displaystyle \sum _{k=0}^m}\boxed{\text{ハ}}$

となる．ここで二項定理を応用すれば，$P_e-P_o=\boxed{\text{ヒ}}$となるが，題意より$p>{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるから，$P_e$と$P_o$の大小関係は$P_e\boxed{\text{フ}}{P}_o$となる．

　一方，$N$が偶数のとき，上の結果$P_e-P_o=\boxed{\text{ヒ}}$はそのまま成立するので$P_e$と$P_o$の大小関係は$P_e\boxed{\text{ヘ}}{P}_o$である．