2005　関西学院大　法学部Ａ方式

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x$についての整式$x^4+x^3+ax+b$（$a\text{，}b$は定数）が${(x-2)}^2$で割り切れるとき，$a=\boxed{\text{（ア）}}\text{，}b=\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(3,0,-2)\text{，}\mathrm{B}(1,1,1)$がある．線分$\mathrm{AB}$上の点の位置ベクトル$\overrightarrow{p}$は，$\overrightarrow{p}=(1+2t,\boxed{\text{（ウ）}},\boxed{\text{（エ）}})\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$で表される．$\overrightarrow{p}$の大きさは，$t=\boxed{\text{（オ）}}$のとき最小値$\boxed{\text{（カ）}}$をとり，$t=\boxed{\text{（キ）}}$のとき最大値$\boxed{\text{（ク）}}$をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$y=x^3+p{x}^2+q\text{（}p>0\text{，}q\ne 1\text{）}$で与えられる曲線$C$の接線について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$とするとき，点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$y=(\boxed{\text{（ア）}})x+(\boxed{\text{（イ）}})$である．

(2)　この接線が点$\mathrm{B}(0,1)$を通るとき，$t$が満たす方程式は$2t^3+\boxed{\text{（ウ）}}=0$である．

(3)　(2)の方程式の左辺を$g(t)$とおくと，$g(t)$が極大となるのは$t=\boxed{\text{（エ）}}$のとき，極小となるのは$t=\boxed{\text{（オ）}}$のときである．方程式$g(t)=0$がちょうど$2$つの解をもつのは，$g(t)$の極大値が$\boxed{\text{（カ）}}$のときであり，そのとき$p$と$q$の満たす関係は$q=\boxed{\text{（キ）}}$である．

(4)　点$\mathrm{B}$を通る$C$の接線がちょうど$2$本存在するとき，接点の$x$座標は$\boxed{\text{（ク）}}$と$\boxed{\text{（ケ）}}$である．ただし，$\boxed{\text{（ク）}}<\boxed{\text{（ケ）}}$とする．

(5)　(4)の$2$本の接線が互いに直交するとき，$p^2$の値を求めると，$p^2=\boxed{\text{（コ）}}$である．

【３】　$\mathrm{AB}=1\text{，}\angle \mathrm{A}=60°\text{，}\angle \mathrm{B}=90°$である直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{DE}$を折り目として折り曲げたとき，点$\mathrm{A}$が辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と重なるようにする．$\mathrm{BP}=t$とおいて，三角形$\mathrm{PDE}$の面積$S$を$t$の式で表せ．