2005　西南学院大学　全学部Ｆ日程MathJax

【１】

1.　$5$人の女性$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$と$4$人の男性$\mathrm{W}\text{，}\mathrm{X}\text{，}Y\text{，}\mathrm{Z}$の計$9$人を$3$人ずつの$3$つの班に分ける．

(1)　班の分け方は全部で$\boxed{\text{アイウ}}$通りである．

(2)　女性$\mathrm{B}$と男性$\mathrm{X}$が同じ班になる場合は$\boxed{\text{エオ}}$通りである．

(3)　女性$3$人，男性$3$人の班がひとつずつできる場合は$\boxed{\text{カキ}}$通りである．

【１】

2.

(1)　$-90°<\theta <90°$とする．$\sqrt{6}\cos \theta =\tan \theta$のとき，$\tan \theta =\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

【１】

2.

(2)　$y={\cos }^2\theta -\cos \theta \sin \theta -2{\sin }^2\theta +1$の最大値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．また$y$が最大となるとき，$\tan \theta =\boxed{\text{ス}}-\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}$である．

【２】

1.　$k$を実数の定数とする．次の$x$の方程式について，問に答えよ．

${({\log }_{5}x)}^2-3|{\log }_{5}x|+{\displaystyle \frac{9}{4}}-k=0$

(1)　$k=0$のとき，この方程式の$2$つの実数解は

$x=\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}}$

である．

(2)　方程式が異なる$4$個の実数解をもつときの$k$の値の範囲は，

$\boxed{\text{ト}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．

【２】

2.　$2$つの複素数$\alpha$と$\beta$は，${\displaystyle \beta =\frac{\alpha -2}{2i}}$という関係を満たす．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　複素数平面上で，点$\beta$が点$i$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$\alpha$は点$z$を中心とする半径$r$の円$C_r$の周上を動く．このとき，$|z|=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}r=\boxed{\text{ネ}}$である．

(2)　(1)において，$C_r$の周上の点$\alpha$における接線$l$上に，$\alpha$と異なる点$\gamma$をとるとき，$\alpha \bar{\gamma }+\bar{\alpha }\gamma =\boxed{\text{ノ}}$である．ただし，$\bar{\alpha }\text{，}\bar{\gamma }$はそれぞれ$\alpha \text{，}\gamma$の共役な複素数である．

【３】　放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$をとる．ただし，$a<0<b$とする．放物線$C$の点$\mathrm{A}$における接線と点$\mathrm{B}$における接線の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{PAB}$の面積を$T$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$の値を求めよ．