2005　西南学院大学　神，商，人間科学部社福Ａ日程MathJax

【１】

1.　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれの中に，$1$から$10$までの番号札が$1$枚ずつ入っている．

(1)　$\mathrm{A}$の袋だけから同時に$3$枚の番号札を取り出すとき，取り出した番号の合計が$13$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の両方から同時に$3$枚ずつの番号札を取り出すとき，$6$枚の番号がすべて異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$から$3$枚同時に取り出し，$\mathrm{B}$から$2$枚同時に取り出すとき，$5$枚の番号の組み合わせが連続する自然数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

【１】

2.

(1)　$0°\leqq \theta \leqq 90°$のとき

$\sqrt{2}\sin 2\theta =|\cos \theta -\sin \theta |$

を満たす$\theta$は$\theta =\boxed{\text{コサ}}°\text{，}\boxed{\text{シス}}°$である．ただし，$\boxed{\text{コサ}}<\boxed{\text{シス}}$である．

【１】

1.

(2)　$\tan 15°=\boxed{\text{セ}}-\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．また直線${\displaystyle y=\frac{1}{3}x}$を原点のまわりに$15°$回転した直線の方程式は

$y=(\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}-\boxed{\text{ツ}})x$

である．

【２】

1.

(1)　$x=\sqrt{3}+2$のとき，$x^3-x^2-11x-8$の値は$\boxed{\text{テトナ}}$である．

【２】

1.

(2)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の第$n$項は${\boxed{\text{ニ}}}^n-\boxed{\text{ヌ}}$である．

【２】

2.　平面上の異なる$2$直線$l$と$m$が点$\mathrm{O}$で交わっている．$l$上に点$\mathrm{A}\text{，}m$上に点$\mathrm{B}$があり，三角形$\mathrm{OAB}$の辺の長さは$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BO}=2\sqrt{3}$である．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線を$n$とし，$n$と$l$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}n$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ネ}}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\overrightarrow{b}$である．

(2)　三角形$\mathrm{OQR}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}\overrightarrow{b}}$である．

(3)　$\mathrm{QP}:\mathrm{PR}=\boxed{\text{マ}}:1$である．

【３】　関数$f(x)=x^2+ax+b$が

${\displaystyle {\int }_{-2}^0}f(x)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)dx=-9$

をともに満たすとする．ただし，$a\text{，}b$は定数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸との交点を$\mathrm{A}(p,0)\text{，}\mathrm{B}(q,0)$とする．このとき，$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}(c,0)\text{，}\mathrm{D}(c,f(c))$を頂点とする三角形$\mathrm{BCD}$の面積が最大となるような定数$c$の値と，面積の最大値を求めよ．ただし，$p<c<q$である．