2006　東京大学　前期MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$が，半径${\displaystyle \frac{65}{8}}$の円に内接している．この四角形の周の長さが$44$で，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{CD}$の長さがいずれも$13$であるとき，残りの$2$辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．

【２】　コンピュータの画面に，記号○と×のいすれかを表示させる操作を繰り返し行う．このとき，各操作で，直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は，それまでの経過に関係なく，$p$であるとする．

　最初に，コンピュ−タの画面に記号×が表示された．操作をくり返し行い，記号×が最初のものも含めて$3$個出るよりも前に，記号○が$n$個出る確率を$P_n$とする．ただし，記号○が$n$個出た段階で操作は終了する．

(1)　$P_2$を$p$で表せ．

(2)　$P_3$を$p$で表せ．

(3)　$n\geqq 4$のとき，$P_n$を$p$と$n$で表せ．

【３】　$n$を正の整数とする．実数$x\text{，}y\text{，}z$に対する方程式

$x^n+y^n+z^n=xyz\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　$n=1$のとき，$\text{①}$を満たす正の整数の組$(x,y,z)$で，$x\leqq y\leqq z$となるものをすべて求めよ．

(2)　$n=3$のとき，$\text{①}$を満たす正の実数の組$(x,y,z)$は存在しないことを示せ．

【４】　$\theta$は，$0°<\theta <45°$の範囲の角度を表す定数とする．$-1\leqq x\leqq 1$の範囲で，関数$f\left(x\right)={|x+1|}^3+{|x-\cos 2\theta |}^3+{|x-1|}^3$が最小値をとるときの変数$x$の値を，$\cos \theta$で表せ．

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$4$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$で，条件

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n-1}}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\text{（}n=2\text{，}3\text{）}$

を満たすものを考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$が曲線$xy=1$上にあるとき，${\mathrm{P}}_3$はこの曲線上にはないことを示せ．

(2)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$が円周$x^2+y^2=1$上にあるとき，${\mathrm{P}}_4$もこの円周上にあることを示せ．

【２】　コンピュータの画面に，記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う．このとき，各操作で，直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は，それまでの経過に関係なく，$p$であるとする．

　最初に，コンピュータの画面に記号×が表示された．操作をくり返し行い，記号×が最初のものも含めて$3$個出るよりも前に，記号○が$n$個出る確率を$P_n$とする．ただし，記号○が$n$個出た段階で操作は終了する．

(1)　$P_2$を$p$で表せ．

(2) 　$n\leqq 3$のとき，$P_n$を$p$と$n$で表せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,p)$と，直線$m:y=(\tan \theta )x$が与えられている．ここで，$p>1\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

　いま，傾きが$\alpha$の直線$l$を対称軸とする対称移動を行うと，原点$\mathrm{O}$は直線$y=1$上の，第$1$象限の点$\mathrm{Q}$に移り，$y$軸上の点$\mathrm{P}$は直線$m$上の，第$1$象限の点$\mathrm{R}$に移った．

(1)　このとき，$\tan \theta$を$\alpha$と$p$で表せ．

(2)　次の条件を満たす点$\mathrm{P}$が存在することを示し，そのときの$p$の値を求めよ．

条件：どのような$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対しても，原点を通り直線$l$に垂直な直線は$y=(\tan {\displaystyle \frac{\theta }{3}})x$となる．

【４】　次の条件を満たす組$(x,y,z)$を考える．

条件(A)：$x\text{，}y\text{，}z$は正の整数で，$x^2+y^2+z^2=xyz$および$x\leqq y\leqq z$を満たす．

　以下の問いに答えよ．

(1)　条件(A)を満たす組$(x,y,z)$で，$y\leqq 3$となるものをすべて求めよ．

(2)　組$(a,b,c)$が条件(A)を満たすとする．このとき，組$(b,c,z)$が条件(A)を満たすような$z$が存在することを示せ．

(3)　条件(A)を満たす組$(x,y,z)$は，無数に存在することを示せ．

【５】　$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，数列$\{a_n\}$を漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{{(1+a_n)}^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．

（1)　各$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．

　$n>1$のとき，$b_n>2n$となることを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}(a_1+a_2+\cdots +a_n)$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$を求めよ．

【６】　$x>0$を定義域とする関数$f(x)={\displaystyle \frac{12(e^{3x}-3e^x)}{e^{2x}-1}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)\text{（}x>0\text{）}$は，実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ．すなわち，任意の実数$a$に対して，$f(x)=a$となる$x>0$がただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　前問(1)で定められた逆関数を$y=g(x)\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$とする．このとき，定積分${\displaystyle {\int }_8^{27}}g(x)dx$を求めよ．