2006　東京大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面上で$t$を変数とする媒介変数表示

$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2\\ y=t+2t^2\end{array}$

で表される曲線を$C$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　$t\ne -1$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の式で表せ．

(2)　曲線$C$上で

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たす点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$(x,y)$を点$(X,Y)$に移す移動が

$\{\begin{array}{l}X={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}(2x-y)\\ Y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}(x+2y)\end{array}$

で表されているとする．このとき$Y$を$X$を用いて表せ．

(4)　曲線$C$の概形を$xy$平面上に描け．

【２】　$a$を正の実数，$\theta$を$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$xyz$空間において，点$(a,0,0)$と点$(a+\cos \theta ,0,\sin \theta )$を結ぶ線分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる曲面を$S$とする．さらに，$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　$V$を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$a=4$とする．$V$を$\theta$の関数と考えて，$V$の最大値を求めよ．

【３】　数列の和の公式

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$，
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3={\{{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\}}^2$

などについて，次のような一般的な考察をしてみよう．

　$p\text{，}n$を自然数とする．

(1)　$p+1$次多項式$S_p(x)$があって，数列の和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^p$が$S_p(n)$と表されることを示せ．

(2)　$q$を自然数とする．(1)の多項式$S_1(x)\text{，}{S}_3(x)\text{，}\cdots \text{，}{S}_{2q-1}(x)$に対して，

${\displaystyle \sum _{j=1}^q}{a}_j{S}_{2j-1}(x)=x^q{(x+1)}^q$

が恒等式となるような定数$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_q$を$q$を用いて表せ．

(3)　$q$を$2$以上の自然数とする．(1)の多項式$S_2(x)\text{，}{S}_4(x)\text{，}\cdots \text{，}{S}_{2q-2}(x)$に対して，

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}}{b}_j{S}_{2j}(x)=x^{q-1}{(x+1)}^{q-1}(cx+q)$

が恒等式となるような定数$c$と$b_1\text{，}\cdots \text{，}{b}_{q-1}$を$q$を用いて表せ．

(4)　$p$を$3$以上の奇数とする．このとき，

${\displaystyle \frac{d}{dx}}{S}_p(x)=p{S}_{p-1}(x)$

を示せ．