2006　神戸大学　前期MathJax

【１】　平面上に原点$\mathrm{O}$から出る，相異なる$2$本の半直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$をとり，$\angle \mathrm{XOY}<180°$とする．半直線$\mathrm{OX}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{A}$を，半直線$\mathrm{OY}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{B}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$が$\angle \mathrm{XOY}$の二等分線上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はある実数$t$を用いて

$\overrightarrow{c}=t({\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}})$

と表されることを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{XOY}$の二等分線と$\angle \mathrm{XAB}$の二等分線の交点を$\mathrm{P}$とおく．$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{AB}=4$のとき，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　実数$t$に対して$xy$平面上の直線$l_t:y=2tx-t^2$を考える．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を通る直線$l_t$はただ$1$つであるとする．このような点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　$t$が$|t|\geqq 1$の範囲を動くとき，直線$l_t$が通る点$(x,y)$の全体を図示せよ．

【３】　$\alpha ={\displaystyle \frac{3+\sqrt{7}i}{2}}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$を解にもつような$2$次方程式$x^2+px+q=0$（$p\text{，}q$は実数）を求めよ．

(2)　整数$a\text{，}b\text{，}c$を係数とする$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$について，解の$1$つは$\alpha$であり，また$0\leqq x\leqq 1$の範囲に実数解を$1$つもつとする．このような整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【１】　平面上に原点$\mathrm{O}$から出る，相異なる$2$本の半直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$をとり，$\angle \mathrm{XOY}<180°$とする．半直線$\mathrm{OX}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{A}$を，半直線$\mathrm{OY}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{B}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$が$\angle \mathrm{XOY}$の二等分線上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はある実数$t$を用いて

$\overrightarrow{c}=t({\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}})$

と表されることを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{XOY}$の二等分線と$\angle \mathrm{XAB}$の二等分線の交点を$\mathrm{P}$とおくとき，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$3$辺の長さ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$と，実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を成分とする行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$を考える．次の問に答えよ．

(1)　$X$について関係式$XA=AX$が成立するための，$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$の条件を求めよ．

(2)　$X$が$X^2=A$を満たすとき，$XA=AX$が成立することを示せ．

(3)　$X^2=A$を満たす行列$X$をすべて求めよ．

【３】　$xy$平面において放物線$C:y=x^2$と，その下側にある点$\mathrm{P}(p,q)\text{（}q<p^2\text{）}$を考える．$\mathrm{P}$を通るような$C$の$2$つの接線を考え，その接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線が$C$と相異なる$2$点$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$で交わるとする．

　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b$とし，点$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$の$x$座標をそれぞれ$s\text{，}t$とする．次の問に答えよ．

(1)　$a+b\text{，}ab$を$p\text{，}q$で表せ．

(2)　$s+t\text{，}st$を$p\text{，}q\text{，}m$で表せ．

(3)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{ST}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$u$とする．上図のように$s<u<t<p$となる場合について，等式

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{PS}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{PT}}}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{PQ}}}$

が成立することを示せ．

【４】　$xyz$空間に$3$点$\mathrm{P}(1,1,0)\text{，}\mathrm{Q}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{R}(-1,1,2)$をとる．次の問に答えよ．

(1)　$t$を$0<t<2$を満たす実数とするとき，平面$z=t$と，$▵\mathrm{PQR}$の交わりに現れる線分の$2$つの端点の座標を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$を$z$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ．