2006　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$x<y<z$のとき，不等式

$x{y}^2-x^{2}y+y{z}^2-y^{2}z+z{x}^2-z^{2}x>0$

が成り立つことを示せ．

問２　$1<a<b<c$のとき，不等式

${\log }_a{\displaystyle \frac{c}{b}}+{\log }_b{\displaystyle \frac{a}{c}}+{\log }_c{\displaystyle \frac{b}{a}}>0$

が成り立つことを示せ．

【２】　$-1<t<1$とし，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(t,\sqrt{1-t^2})\text{，}\mathrm{C}(t,0)$をとる．三角形$\mathrm{ABC}$を$x$軸の周りに回転させて得られる円錐の側面積を$S(t)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$S(t)$を求めよ．

問２　${S(t)}^2$が最大になる$t$を求めよ．

【３】　円$x^2+{(y-2)}^2=1$を$C$とし，放物線$y=x^2$の上に相異なる$3$点$\mathrm{A}(2,4)\text{，}\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)\text{（}p<q\text{）}$をとる．直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{AQ}$がともに円$C$に接するとき，次の問いに答えよ．

問１　$p\text{，}q$を求めよ．

問２　直線$\mathrm{PQ}$が円$C$に接することを示せ．

【４】　$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}2$人が，右の図のような正方形の上で次の規則に従って，ゲームを行う．

・まず最初は，$\mathrm{a}$は頂点$\mathrm{A}$を出発点とし，$\mathrm{b}$は頂点$\mathrm{B}$を出発点とする．

・$2$人はそれぞれ硬貨を持ち，$2$人同時に各自の硬貨を投げて，表が出たときは，図の矢印の向きに隣の頂点に移動し，裏が出たときは，そのまま頂点にとどまることにする．

・このような硬貨投げを繰り返し行った結果，ある頂点で$2$人がいっしょになったとき，後から移動してきた方を勝ちとする．

　次の問いに答えよ．

問１　$2$回目の硬貨投げの結果で勝負がつく確率を求めよ．

問２　$2$回目の硬貨投げの結果ではまだ勝負がつかず，$3$回目の硬貨投げの結果で勝負がつく確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$x\geqq 0$のとき，不等式

$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\leqq \log (1+x)\leqq x$

が成り立つことを示せ．

問２　次の極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log (1+{\displaystyle \frac{k}{n^2}})$

を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　$x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$のとき

$\sin 2x=\sin 3x$

が成り立つことを示せ．

問２　等式

$\sin 3x=(4{\cos }^{2}x-1)\sin x$

を示せ．

問３　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$の値を求めよ．

問４　区間${\displaystyle \frac{\pi }{5}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$において，$2$曲線$y=\sin 2x\text{，}y=\sin 3x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -a^2& 2a\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ p& q\end{array}\right)$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$B=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& c\end{array}\right)$について，$AP=PB$が成り立っているものとする．このとき，$P$は逆行列をもたないことを示せ．

問２　$n$を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列とする．

$A^{n+1}=(n+1)a^{n}A-n{a}^{n+1}E$

問３　$P$は逆行列をもち，自然数$k$に関して

$P^{-1}{A}^{k}P=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right)$

が成り立つものとする．このとき，$k$は$2$以上で，$a=x=y=0$であることを示せ．

【４】　$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}\text{，}\mathrm{c}$人がプレイヤーとなり，右の図のような三角形の上で次の規則に従って，ゲームを行う．

・まず最初は，$\mathrm{a}$は頂点$\mathrm{A}$を出発点とし，$\mathrm{b}$は頂点$\mathrm{B}$を，$\mathrm{c}$は頂点$\mathrm{C}$を出発点とする．

・各プレイヤーはそれぞれ硬貨を持ち，みな同時に各自の硬貨を投げて，表が出たときは，図の矢印の向きに隣の頂点に移動し，裏が出たときは，そのまま頂点にとどまることにする．

・この移動によって，ある頂点において$2$人がいっしょになったときは，前からとどまっていた方がこのゲームから抜けることにする．その後は，残った$2$人で同様のゲームを続けるものとする．

・このような硬貨投げを繰り返し行い，最後の$1$人になるまで残った者をこのゲームの優勝者とする．

　$n$回までの硬貨投げの結果では優勝者が決まらずに，三角形上に$3$人とも残っている確率を$p_n\text{，}$三角形上に$2$人が残っている確率を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$q_{n+1}$を$p_n$と$q_n$を用いて表せ．

問２　${\displaystyle \frac{3}{2}}{p}_{n+1}+q_{n+1}$を$p_n$と$q_n$を用いて表せ．

問３　$p_n$と$q_n$を求めよ．

問４　$n$回までの硬貨投げの結果では優勝者が決まらずに，$(n+1)$回目の硬貨投げの結果で優勝者が決まる確率を求めよ．