2006　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)

(a)　不等式

${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x-5)<3$

の解は，

$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)

(b)　$-\pi \leqq \theta <\pi$の範囲で不等式

$\cos \theta +\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})>0$

の解は，

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{3x^4+8x^3}{x^2+1}}dx$

の値を計算する．

整式$3x^4+8x^3$を整式$x^2+1$で割ることにより，

$3x^4+8x^3=(\boxed{\text{キ}}{x}^2+\boxed{\text{ク}}x-\boxed{\text{ケ}})(x^2+1)-\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}$

が得られる．さらに，

${\displaystyle {\int }_0^1}(\boxed{\text{キ}}{x}^2+\boxed{\text{ク}}x-\boxed{\text{ケ}})dx=\boxed{\text{シ}}$

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ス}}}}$

であり，また，$x=\tan \theta$とおいて置換積分をすることにより，

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{セ}}}}$

が得られる．よって，

$I=\boxed{\text{ソ}}-\boxed{\text{タ}}\log \boxed{\text{チ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\pi$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)

(a)　$2$つのさいころを投げるとき，目の和が$6$以下となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}$である．

(b)　$\mathrm{A}$君はさいころを$2$つ投げ，$\mathrm{B}$君はさいころを$1$つ投げる．$\mathrm{A}$君の投げたさいころの目の和が$\mathrm{B}$君の投げたさいころの目となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}}$である．

(c)　さいころを$3$つ投げるとき，どのさいころの目も残りの$2$個のさいころの目の和とならない確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}}}}$である．

【２】　定数$a\text{，}b$に対して，関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=a\log x+b\text{（}x>0\text{），}g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{a}}+x$

により定義する．ただし，$a>0$とする．

(1)　$h(x)=f(x)-g(x)\text{（}x>0\text{）}$とおく．$h^{\prime }(x)=0$となる$x$を，$a$を用いて表せ．ここで，$h^{\prime }(x)$は$h(x)$の導関数である．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が共有点をもつ$b$の範囲を，$a$を用いて表せ．

(3)　次の条件を満たす$b$を考える．

条件：$a$がどのような正の定数であっても，$2$つの曲線$y=f(x)$と$g(x)$は共有点をもつ．

このような$b$のうち，最小のものを求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{5x+1}}\text{（}x>0\text{）}$

と定める．数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$を，

$a_1=1\text{，}{a}_1<a_2<a_3<\cdots$

${\displaystyle {\int }_{a_j}^{a_{j+1}}}f(x)dx={\displaystyle \frac{\log 6}{5}}\text{，}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

を満たすようにとり，

$b_j=f(a_j)\text{，}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

とおく．また，各$j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，点$(a_{j+1},0)$から曲線$y=f(x)$へひいた接線の接点を${\mathrm{P}}_j(x_j,y_j)$で表し，$3$点$(a_{n+1},0)\text{，}(x_j,0)\text{，}{\mathrm{P}}_j$を頂点とする三角形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積を$V_j$とおく．

(1)　${\displaystyle \frac{b_j}{b_{j+1}}}$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{y_j}{b_{j+1}}}$の値を求めよ．

(3)　$V_j$の値を求めよ．

(4)　無限級数

$V_1+V_2+V_3+\cdots$

の和を求めよ．