2006　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　実数$x\text{，}y$は$4x^2+4y^2+7xy+x+y-1=0$を満たしているとする．このとき$u=x+y$および$v=xy$のとり得る値の範囲を求めよう．

(a)　$u$のとり得る値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(b)　$v$を$u$で表すと，

$v=\boxed{\text{オ}}{u}^2+\boxed{\text{カ}}u-\boxed{\text{キ}}$

であるから，$v$のとり得る値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}\leqq v\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　$m$を実数の定数とする．$x$の関数$f(x)=(2m-m^2)x^{2m^2+3m-4}$が区間$x>0$で増加するのは$m$が，

${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}<m<\boxed{\text{オ}}\text{，}{\displaystyle \frac{-\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}<m<\boxed{\text{コ}}$

のときである．

(b)　$m$を自然数の定数とする．$x$の関数$f(x)=(2m-m^2)x^{2m^2+3m-4}$が区間$x>0$で増加するのは，$m=\boxed{\text{サ}}$のときである．$m$の値を$\boxed{\text{サ}}$とするときの関数$f(x)$および$3$つの整数$a\text{，}b\text{，}c$を用いて次の式

$g(x)={\displaystyle \frac{a{\{f(x)\}}^2+2}{bf(x)+c}}$

で定義される関数$g(x)$を考える．関数$g(x)$が以下の$3$つの条件：

・$x\ne 0$のとき，$g(x)=-g(-x)$

・$g(1)=2$

・$g(2)<3$

をすべて満たすのは，$a=\boxed{\text{シ}}\text{，}b=\boxed{\text{ス}}\text{，}c=\boxed{\text{セ}}$または$a=\boxed{\text{ソ}}\text{，}b=\boxed{\text{タ}}\text{，}c=\boxed{\text{チ}}$のときである．ここで，$\boxed{\text{シ}}<\boxed{\text{ソ}}$とする．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　座標平面上に$2$つの円$C_0:{(x+a)}^2+y^2=1\text{，}{C}_1:{(x-a)}^2+y^2=1$および$C_0\text{，}{C}_1$とそれぞれ異なる$2$点で交わる$1$つの直線$l:y=bx+c$がある．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は，$0<a<1\text{，}b\geqq 0\text{，}c\geqq 0$とする．直線$l$と円$C_0$の$2$つの交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_3$とし，直線$l$と円$C_1$の$2$つの交点を${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_4$として，$4$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$が次の$3$つの条件：

・${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$はすべて異なる

・${\mathrm{P}}_1$の$x$座標は${\mathrm{P}}_3$の$x$座標より小さく，${\mathrm{P}}_2$の$x$座標は${\mathrm{P}}_4$の$x$座標より小さい

・${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2={\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3={\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$

をすべて満たすような$a\text{，}b\text{，}c$について考える．

(a)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4=1$がもっとも長くなるのは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}\text{，}c=\boxed{\text{エ}}$のときである．このとき，${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4=\boxed{\text{オ}}$である．

(b)　${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4=1$となるのは，

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\text{，}c=\boxed{\text{サ}}$

または

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}b=\boxed{\text{セ}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

のときである．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　行列$J$を$J=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$とし，$2$次の正方行列$A$は

$A\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)J$

を満たしているとする．

(a)　行列$J$の$n$乗$J^n$を求めなさい．ただし，$n$は自然数である．

(b)　行列$A$の$n$乗$A^n$を求めなさい．ただし，$n$は自然数である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　曲線$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$について，$y\leqq 5$の部分の長さを求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．また，曲線$y=f(x)\text{（}a\leqq x\leqq b\text{）}$の長さは$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を用いて次の定積分

${\displaystyle {\int }_a^b}\sqrt{1+{\{f^{\prime }(x)\}}^2}dx$

で表される．

【３】　$f(x)$は次の等式を満たす関数とする．

$f(x)=(e^{-x}+e^x)\cos x-2x-{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)f^{\prime }(x)dt$

ただし，$e$は自然対数の底であり，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)　$x=0$のときの関数の値$f(0)$および微分係数$f^{\prime }(0)$を求めなさい．

(2)　関数$g(x)$を$g(x)=e^{x}f(x)$で定める．導関数$g^{\prime }(x)$を求めなさい．

(3)　関数$f(x)$を求めなさい．