2006　関西学院大　理工学部Ｆ方式

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　${\displaystyle \int }x{e}^{3x}dx=\boxed{\text{（ア）}}，{\displaystyle \int }5x{(x^2+3)}^{4}dx=\boxed{\text{（イ）}}，{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\sin x\cos x}{2+\cos x}}dx=\boxed{\text{（ウ）}}$である．ただし積分定数は省略してよい．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　赤玉$2$個，青玉$18$個が入っている袋からでたらめに$1$個ずつ玉を取り出す．ただし，いったん取り出した玉は袋に戻さないものとする．$2$個目の赤玉を$3$回目に取り出す確率は$\boxed{\text{（エ）}}$であり， $4$回目に取り出す確率は$\boxed{\text{（オ）}}$であり， $r$回目（$2\leqq r\leqq 20$）に取り出す確率は$\boxed{\text{（カ）}}$である．また，$r$回目に$2$個目の赤玉を取り出すとするとき，$r$の期待値は$\boxed{\text{（キ）}}$である．

【２】　$f(x)=8^{x+{\displaystyle \frac{2}{3}}}-3\cdot 4^{x+{\displaystyle \frac{3}{2}}}+45\cdot 2^x-26$とおき，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t=2^x$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　方程式$f(x)=a$の異なる実数解はいくつあるか．$a$の値によって分類せよ．

(3)　$f(x)=a$が異なる$2$個の実数解をもち，そのうちの$1$つは整数とする．このとき$a$の値とこれらの解を求めよ．

(4)　$f>(x)=a$が異なる$2$個の実数解をもつとき，これらの解の和を$a$で表せ．

【３】　座標空間内において，直線$l$は原点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$に平行とする．また，定点$\mathrm{P}(1,0,1)$と$l$上の点$\mathrm{R}$を結ぶ線分は$l$に垂直であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の$x$座標$x(\theta )$と$y$座標$y(\theta )$を求めよ．

(2)　$\theta$の値が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で変化するとき，$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OPR}$の面積を$S$とし，線分$\mathrm{OR}，\mathrm{PR}$の長さの和を$L$とする．$|\cos \theta |=p$とおくとき，$p$を用いて$S$および$L$を表せ．ただし，点$\mathrm{R}$が$\mathrm{O}$に一致するときは$S=0，\mathrm{OR}=0$とする．

(4)　$\theta$の値が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で変化するとき，$S$および$L$の最大値・最小値を求め，さらに，それぞれの場合の$\theta$の値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=2，a_{n+1}={\displaystyle \frac{12}{n(3n+5)}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k+1)a_k(n=1，2，3，\cdots )$

を満たすとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a_2，a_3，a_4，a_5$を求めて，一般項$a_n$を予想せよ．

(2)　上の予想が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2^k{a}_k}{k}}$を求めよ．