2007　神戸大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　漸化式$x_{n+1}-a=-2x_n+2a$（$a$は定数）で定まる数列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots$の一般項$x_n$を$x_1\text{，}a$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面において曲線$C:y=f(x)=x^3-3a{x}^2$（$a$は定数）を考える．$C$上に点${\mathrm{P}}_1(t_1,f(t_1))$をとる．ただし，$t_1\ne a$とする．${\mathrm{P}}_1$における$C$の接線と$C$の交点のうち，${\mathrm{P}}_1$と異なるものを${\mathrm{P}}_2(t_2,f(t_2))$とする．$t_2$を$t_1\text{，}a$を用いて表せ．

(3)　さらに，${\mathrm{P}}_2$における$C$の接線と$C$の交点のうち，${\mathrm{P}}_2$と異なるものを${\mathrm{P}}_3$とする．以下同様に${\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6\text{，}\cdots$を定める．${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$はすべて相異なることを示せ．

【２】　$xy$平面における曲線$C:y=x^2$と直線$l:y=ax$（$a$は正の定数）について，次の問に答えよ．

(1)　$l$と平行な，$C$の接線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　原点$\mathrm{O}$と$m$の距離を$a$を用いて表せ．

(3)　$l$と$C$の交点のうち$\mathrm{O}$以外のものを$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{OP}$を一辺とする四角形$\mathrm{OPQR}$が長方形になるように，$m$上に$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとる．この長方形の面積が$2$となるときの$a$の値を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$1\text{，}2\text{，}3$の$3$種類の数字から重複を許して$3$つ選ぶ．選ばれた数字の和が$3$の倍数となる組み合わせをすべて求めよ．

(2)　$1$の数字を書いたカードを$3$枚，$2$の数字を書いたカードを$3$枚，$3$の数字を書いたカードを$3$枚，計$9$枚用意する．この中から無作為に，一度に$3$枚のカードを選んだとき，カードに書かれた数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．

【１】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$上にそれぞれ任意に点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$をとるとき，線分$\mathrm{EF}$の中点は$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を含む平面上にあることを証明せよ．

【２】　$xy$平面において，$\mathrm{O}$を原点，$\mathrm{P}$を第$1$象限内の点とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$を頂点とし，$y$軸上に底辺を持つ二等辺三角形を考える．この二等辺三角形の周の長さが常に$2$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡$T$の方程式を求めよ．

(2)　$T$を(1)で求めた軌跡とし，$a$を実数とする．このとき，軌跡$T$と直線$y=a(x-1)$が第$1$象限内で交点をもつような，$a$の範囲を求めよ．

【３】　$f(x)=e^x-x$について，次の問に答えよ．

(1)　実数$x$について$f(x)\geqq 1$であることを示せ．

(2)　$t$は実数とする．このとき，曲線$y=f(x)$と$2$直線$x=t\text{，}x=t-1$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$を最小にする$t$の値とその最小値を求めよ．

【４】　$\{\begin{array}{l}x=\sin t\\ y=\sin 2t\end{array}(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で表される曲線を$C$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$y$を$x$の式で表せ．

(2)　$x$軸と$C$で囲まれる図形$D$の面積を求めよ．

(3)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．