2007　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　座標平面において，放物線$y=x^2+1$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(a,a^2+1)\text{，}\mathrm{Q}(b,b^2+1)\text{（}a<b\text{）}$に対して，点$\mathrm{P}$における接線と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．

(a)　点$\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表すと$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(a+b),\boxed{\text{ウ}}ab+\boxed{\text{エ}})$である．

(b)　点$\mathrm{R}$の座標が$(\boxed{\text{オ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$のとき，三角形$\mathrm{PQR}$は正三角形になり，その$1$辺の長さは$\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

(c)　点$\mathrm{R}$が直線$y=x$上にあるとき，$\mathrm{R}$の座標が$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}})$であれば$\angle \mathrm{PRQ}$は直角になる．また，このときの線分$\mathrm{PQ}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　$x\geqq 0$のとき，関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=[2x]+[4x]+[6x]$

ここで，実数$a$に対して$[a]$は$a$を超えない最大の整数を表す．例えば，$[1]=1\text{，}\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]=3$である．

(a)　$x$が$0\leqq x\leqq 1$を動くとき，$f(x)$の取りうる値は$\boxed{\text{ア}}$通りある．

(b)　$x\geqq 0$のとき，$f(x+1)=f(x)+\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．

(c)　$0$から$100$までの整数で，関数$f(x)$の値となりうるものの個数は$\boxed{\text{エ}\text{オ}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　$50\times 50$個の正の数を，下図のように$50$行$50$列に並べる．

$\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& a_{1,4}& \cdots & a_{1,50}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& \cdots & a_{2,50}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}& \cdots & a_{3,50}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,3}& a_{4,4}& \cdots & a_{4,50}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{50,1}& a_{50,2}& a_{50,3}& a_{50,4}& \cdots & a_{50,50}\end{array}$

$a_{i,j}$の下添字$i\text{，}j\text{（}1\leqq i\leqq 50\text{，}1\leqq j\leqq 50\text{）}$は，$i$が行番号，$j$が列番号を表す．

条件：

・各行$a_{i,1}{a}_{i,2}\text{，}\cdots \text{，}{a}_{i,50}\text{（}1\leqq i\leqq 50\text{）}$は公差$d_i$の等差数列（$d_i$は第$i$行の公差である）

・各列$a_{1,j}\text{，}{a}_{2,j}\text{，}\cdots \text{，}{a}_{50,j}\text{（}0\leqq j\leqq 50\text{）}$は公比$r$の等比数列（$r$はすべての列に共通な公比である）

・$a_{4,2}={\displaystyle \frac{3}{16}}\text{，}{a}_{3,3}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{2,4}={\displaystyle \frac{5}{4}}$

が成り立つとき以下の問いに答えなさい．

(a)　第$4$行の公差$d_4$は$d_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

(b)　公比$r$は$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(c)　$a_{1,1}=\boxed{\text{カ}}\text{，}{a}_{3,4}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}{a}_{4,3}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(d)　自然数$n\text{（}n\leqq 50\text{）}$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{k,k}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n}$

$E_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{n+1-k,k}=a_{n,1}+a_{n-1,2}+\cdots +a_{1,n}$

とするとき，

$S_9={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}}\text{，}{E}_9=\boxed{\text{チ}}$

$S_{50}=\boxed{\text{ツ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}{2^{50}}}\text{，}{E}_{50}=\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}$

である．

【２】(1)　実数$a$に対して，行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}a& 4\\ 1& a\end{array}\right)$とする．また，条件$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}\text{，}\mathrm{r}$をそれぞれ次のように定める．

$\mathrm{p}$：行列$A$は逆行列をもつ

$\mathrm{q}$：$a>0$である

$\mathrm{r}$：連立$1$次方程式$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$は解をもつ

(a)　条件「$\mathrm{p}$かつ$\mathrm{q}$」の否定を書きなさい．

(b)　条件$\mathrm{p}$が成り立つような実数$a$の条件を求め，さらにそのときの$A$の逆行列を求めなさい．

(c)　条件$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{r}$に対して正しい記述を次の中から選びなさい．また，選んだ理由を説明しなさい．

$\text{①}$　条件$\mathrm{p}$は条件$\mathrm{r}$が成り立つための必要条件であるが，十分条件ではない．

$\text{②}$　条件$\mathrm{p}$は条件$\mathrm{r}$が成り立つための十分条件であるが，必要条件ではない．

$\text{③}$　条件$\mathrm{p}$は条件$\mathrm{r}$が成り立つための必要条件でもあり，十分条件でもある．

$\text{④}$　条件$\mathrm{p}$は条件$\mathrm{r}$が成り立つための必要条件でも十分条件でもない．

【２】(2)　$0\leqq x\leqq 2$の範囲で，曲線$y=3^x-1$と直線$y=2x+4$および$y$軸とで囲まれた部分を$D$とする．

(a)　$D$の面積を求めなさい．

(b)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

【３】　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{13}\text{，}\mathrm{BC}=4$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の外部に点$\mathrm{P}$を以下の$2$条件：

・線分$\mathrm{BP}$は辺$\mathrm{AC}$と交わる

・$\angle \mathrm{BPC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である

を満たすようにとる．線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{M}$とし，${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AC}}}=t$とする．

(1)　$\cos A$の値を求めなさい．

(2)　$t$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{BM}$の長さの比${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BM}}}$を$t$で表しなさい．

(4)　比${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BM}}}$が最大となるときの$t$の値を求めなさい．