2007　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の不等式を証明せよ．ただし，対数は自然対数である．

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}<\log n<1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots {\displaystyle \frac{1}{n-1}}$

(2)　$n$以下の自然数$k$に対して，$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$のうちで$k$の倍数であるものの個数を$a_k$とし，$k$の約数であるものの個数を$b_k$とする．ただし，$1$と$k$は$k$の約数である．

(a)　$n=8$のとき${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{a}_k$と${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{b}_k$をそれぞれ求めよ．

(b)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \frac{n}{k}}-1<a_k\leqq {\displaystyle \frac{n}{k}}$

(c)　$b_1+b_2+\cdots +b_n$を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を用いて表せ．

(d)　次の不等式を証明せよ．

$|{\displaystyle \frac{1}{n}}(b_1+b_2+\cdots +b_n)-\log n|<1$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　加法定理を用いて次の等式を証明せよ．

$\sin A+\sin B=2\sin {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$

$\cos A+\cos B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$

(2)　区間$0\leqq x\leqq 2\pi$において，次の方程式の解をすべて求めよ．

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x$

(3)　関数$f(x)$を次の式で定める．

$f(x)=\sin x+\cos x+{\displaystyle \frac{\sin 2x+\cos 2x}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 3x+\cos 3x}{3}}+{\displaystyle \frac{\sin 4x+\cos 4x}{4}}$

このとき，区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で関数$f(x)$が極大となる$x$の値と極小となる$x$の値をすべて求めよ．また，区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．