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2007-15113-0101
2007 関西学院大学 理工学部F方式
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) m と n を 2 以上の整数とする. 1 から m までの番号が 1 つずつ書かれた m 個のボールを, 1 から n までの番号が 1 つずつ書かれた n 個の箱に分けて入れる.ただし,ボールが入っていない箱があってもよいものとする.このとき,相異なる入れ方の総数を a ⁡(m ,n) とすると a ⁡(m ,n) =(ア) である.そのうち,番号 1 の箱に入るボールの個数が 2 個であるような入れ方の総数を b ⁡(m ,n) とすると, b ⁡(m ,n) =(イ) である. limn →∞ ⁡ (1+ 1 n) n= e (自然対数の底)であることに注意すると, limn →∞ ⁡ b⁡ (2⁢n ,n) a⁡( 2⁢n ,n) = (ウ) である.
2007-15113-0102
(2) 関数 f⁡ (x)= x2 ⁢ex の導関数は f ′⁡ (x) = (エ) である. f⁡( x) は x =(オ) のとき極大値 (カ) をとる.極大値より小さい整数のうちで最大のものは (キ) である.曲線 y =f⁡ (x) の変曲点の x 座標のうち最も大きいものは (ク) である.
2007-15113-0103
【2】 n=1 , 2 ,3 , ⋯ について
fn⁡ (x)= 1 1-x 2 -1- ∑k =1n ⁡ x2⁢ k ( -1<x< 1 )
とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) fn⁡ (x) を求めよ.また, 0≦x ≦ 12 において 0 ≦fn ⁡( x)≦ 4 3⁢ x2 ⁢n+ 2 となることを示せ.
(2) -1<x <1 において不定積分 ∫⁡ 1 1- x2 ⁢d x を求めよ.
(3) 小問(1)を用いて, 0≦ ∫0 1 2 ⁡fn ⁡( x) ⁢dx≦ 1 3⁢( 2⁢n+ 3)⁢ 22 ⁢n+1 を示せ.
(4) S= ∑k =0∞ ⁡ 1 2⁢k +1 ⁢ ( 12 ) 2⁢k+ 1 を求めよ.
2007-15113-0104
【3】 a が実数で 0 ≦θ≦ π のとき
t=sin⁡ θ+cos ⁡θ , f⁡ (θ ) =sin⁡ 2⁢θ -4⁢ a⁢cos ⁡ θ2 ⁢( sin⁡ θ2 +cos⁡ θ 2)
(1) sin⁡2 ⁢θ と cos⁡θ 2⁢ (sin ⁡θ2 +cos⁡ θ2 ) を t で表せ.
(2) f⁡( θ) を t で表せ.また, t のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) f⁡( θ) の最大値 M と最小値 m を求めよ.
(4) a が実数全体を動くとき, M-m の最小値とそのときの a の値を求めよ.
2007-15113-0105
【4】 OA=3 , AB=4 , BO=5 である ▵ OAB を考える. OA→ =a → , OB→ =b→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) cos∠AOB と内積 a →⋅ b→ を求めよ.
(2) 辺 AB を 3 :5 に内分する点を C とするとき, OC→ を a→ , b→ で表せ.また,線分 OC の長さ p を求めよ.
(3) 直線 OC 上の点 D について,線分 BD は直線 OC に垂直とする.このとき OD → を a→ , b → で表せ.また,線分 OD の長さ q と線分 BD の長さ r を求めよ.
(4) ▵OBD , ▵OAB をそれぞれ直線 OD のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V , W を求めよ.