2008　長崎大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．曲線$A\text{：}y=-x^2+a^2(2a+1)$と曲線$B\text{：}y=x^3+a{x}^2$は相異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$で交わるものとし，$3$点の中で$x$座標が最大であるものを$\mathrm{P}\text{，}$最小であるものを$\mathrm{R}$とする．また，点$\mathrm{P}$における曲線$B$の接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$はどのような範囲にあるか．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b\text{，}$点$\mathrm{R}$の$x$座標を$c$とする．$b\text{，}$$c$を$a$を用いて表せ．

(3)　$b<-a$が成り立つことを示せ．

(4)　点$\mathrm{P}$の座標と直線$l$の方程式を，$a$を用いて表せ．

(5)　曲線$A$と直線$l$で囲まれた部分で$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$である領域の面積を，$a$を用いて表せ．

【２】　$i$を虚数単位として，次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3=1$を解け．

(2)　$\alpha =m+\sqrt{7}ni$とするとき，${\alpha }^3=225+2\sqrt{7}i$が成り立つ．このような整数$m\text{，}$$n$の組を求めよ．

(3)　${\beta }^3=225+2\sqrt{7}i$を満たす複素数$\beta$をすべて求めよ．

【３】　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$で定義される関数$f(x)$が関係式

$f^{\prime }(x)=(1-x)|x-1|+\left|x\right|-1\text{，}$$f(0)=0\text{，}$$f(1)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_n=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{B}}_n=\theta$である相似な直角三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$が，次のような規則で座標平面上に並べられている．

規則１)　三角形どうしが，辺以外で重なることはない．

規則２)　頂点${\mathrm{B}}_1$は座標平面上の原点$(0,0)$と一致し，${\mathrm{C}}_1$は点$(1,0)$と一致している．また，${\mathrm{A}}_1$は第$1$象限にある．

規則３)　$m$を自然数とするとき，三角形${\mathrm{A}}_{2m}{\mathrm{B}}_{2m}{\mathrm{C}}_{2m}$と三角形${\mathrm{A}}_{2m-1}{\mathrm{B}}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{2m-1}$において，${\mathrm{B}}_{2m}$は${\mathrm{B}}_{2m-1}$と一致し，${\mathrm{C}}_{2m}$は${\mathrm{A}}_{2m-1}$と一致している．

　さらに，三角形${\mathrm{A}}_{2m+1}{\mathrm{B}}_{2m+1}{\mathrm{C}}_{2m+1}$と三角形${\mathrm{A}}_{2m}{\mathrm{B}}_{2m}{\mathrm{C}}_{2m}$において，頂点${\mathrm{B}}_{2m+1}$は${\mathrm{A}}_{2m}$と一致し，${\mathrm{C}}_{2m+1}$は${\mathrm{B}}_{2m}$と一致している．

　次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{A}}_2$の座標を，$\theta$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{A}}_{4m}$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$の座標$(x_m,y_m)$を，$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{x}_m$および$\underset{m\to \infty }{\lim }{y}_m$を求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle A}=\theta$とし，この三角形の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とし，実数$s\text{，}$$t$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$となる点$\mathrm{P}$を考える．$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$であり，$\mathrm{P}$が外接円の周上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$s\text{，}$$t$の満たすべき関係式を求めよ．

(3)　$s+t=u\text{，}$$st=v$とおくとき，$v$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　上の(3)において，$v$が最小値をとるときの$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，中心$\mathrm{O}$との位置関係が分かるように，点$\mathrm{P}$を図示せよ．

【６】　放物線$y=x^2$上に，$x$座標が$t$である点$\mathrm{P}(t)$をとる．ただし，$t\geqq 0$とする．$k\ne 0$とし，放物線の$\mathrm{P}(t)$における法線と，$\mathrm{P}(t+h)$における法線を考える．$h\to 0$とするとき，この$2$法線の交点の$x$座標の極限値を$u(t)\text{，}$$y$座標の極限値を$v(t)$とする．さらに$(u(t),v(t))$を点$\mathrm{Q}(t)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$u(t)$と$v(t)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}(t)$が上の放物線上にあるとき，$t$の値と$\mathrm{Q}(t)$の座標を求めよ．

(3)　上の放物線，曲線$x=u(t)\text{，}$$y=v(t)\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【７】　$1$辺の長さ$\sqrt{2}a$の正方形の折り紙がある．正方形$\mathrm{ABCD}$の中心を点$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{AO}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{EO}=b$とする．図１の斜線部を取り去り，$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OE}$に沿って折り，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{OD}$を貼り合わせ，図２のように三角錐$\mathrm{O‐BCE}$を作って平面に置いた．$\mathrm{O}$より三角形$\mathrm{BCE}$に下ろした垂線と三角形$\mathrm{BCE}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{BCE}$の外心を点$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{HP}={\displaystyle \frac{a}{4}}$のときの$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の長さを$a$を用いて表せ．

【８】　漸化式$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．

(1)　$n\to \infty$のとき$\{a_n\}$は有限な極限値を持つことを証明せよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

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