2008　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　$x+y+z=1\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1$が成り立つとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$のうち少なくとも$1$つは$1$であることを証明しなさい，

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　半径が$r\text{，}$中心角が$\theta$ラジアンの扇形の弧の長さおよび面積を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　$3^{38}\text{，}$$5^{27}\text{，}$$8^{19}$の大小を比較しなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の問に答えなさい．

(4)　$2$直線$kx-y+3k=0\text{，}$$x+ky-3=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．実数$k$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

【２】　関数$f(x)$が等式$f(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$を満たすとき，次の問に答えなさい．

(1)　関数$f(x)$を求めなさい．

(2)　関数$f(x)$に接する接線のうち，原点を通るものを求めなさい．

(3)　(2)で求めた接線と関数$f(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．

【３】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+x$について，次の問に答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の極値を求め，グラフの概形をかきなさい．

(2)　$f(x)=a$として得られる方程式が異なる$2$つの実数解をもつとき，定数$a$の値を求めなさい．

(3)　$f(x)=a$として得られる方程式が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつように，定数$a$の範囲を求めなさい．

【４】　BASICプログラムを利用した基本的な数値計算法について，次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑧}$に適する命令等を答えなさい．

(1)　以下のプログラムは自然数$M$を入力すると，$1^2+2^2+3^2+\cdots +M^2$が求められるプログラムである．

(2)　以下のプログラムは，$1$から$A$までの整数$N$について，$\text{「}A$を$N$で割った余りが$0$(ゼロ)ならば，その$N$が$A$の約数である．」という考え方で約数を求めるプログラムである．

(3)　以下のプログラムは，$2$つの自然数$A\text{，}$$B$について$\text{「}A$の約数を大きい方から求めるとき，それがさらに$B$の約数であるならば，それが最大の公約数である．」という考え方で最大公約数を求めるプログラムである．

【５】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$の数字を$1$つずつ書いたカードが合計$7$枚ある．この$7$枚のカードの中から$1$枚カードを引き，引いたカードはもとには戻さずにまた次のカードを$1$枚引くというゲームをくり返し行う．このとき偶数または奇数の数字のカードが$3$枚出たらその時点でこのゲームは終了するものとし，ゲームの終了を決定するその$3$枚のカードを出た順に$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$とする．

　またゲームが終了する時までに引いたカードの枚数を$N$とするとき，次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑩}$に適するものを答えなさい．

(1)　$N$の取りうる値の最小値は$\text{①}\text{，}$最大値は$\text{②}$で，その$2$つの値を取る確率はそれぞれ$\text{②}\text{，}$$\text{④}$である．

(2)　$X\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$Z$の$3$枚のカードの数字が，順に大きくなっていく確率$p$を求める．このうち特に$N=\text{①}$となるカードの引き方は$\text{⑤}$通り，$N=\text{②}$となるカードの引き方は$\text{⑤}$通りある．残りの場合も含めると，求める確率は$p=\text{⑦}$となる．

(3)　$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$の$3$枚のカードのうち，少なくとも$2$枚のカードが続けて出る事象の確率$q$を求める．まずこの事象の余事象$\text{「}X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$の$3$枚のカードが$1$度も続けて出ない」について考えると，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$の数字が偶数である場合は$\text{⑧}$通り，奇数である場合は$\text{⑨}$通りある．よって求める確率は$q=\text{⑩}$となる．

【６】　次の命題について証明しなさい．

(1)　整数$m\text{，}$$n$の少なくとも$1$つが偶数ならば，積$mm$は偶数である．

(2)　整数$m\text{，}$$n$について$m^2+n^2$が$3$の倍数であるならば，$m\text{，}$$\mathrm{n}$の少なくとも$1$つは$3$の倍数である．

(3)　自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が$a^2+b^2=c^2$を満たすならば，$a+b>c$である．

【７】　$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$は$a_n=b_{n+1}-b_n+nk-3$$\text{（}k$は実数，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$の条件式を満たし，数列$\{b_n\}$は数列$\{a_n\}$の階差数列であるとする．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$3$項までの和と数列$\{b_n\}$の初項から第$3$項までの和とが等しくなる．$a_1=1\text{，}$$b_1=4$であるとき次の問に答えなさい．

(1)　$k$の値を求めなさい．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．