2008　東京理科大学　経営学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$3:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:1$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

　線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$m$は自然数とする．二つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$には番号$1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots \text{，}2m-1$がそれぞれ$1$つずつ記された$m$枚のカードが，$\mathrm{B}$には番号$2\text{，}4\text{，}6\text{，}\cdots \text{，}2m$がそれぞれ$1$つずつ記された$m$枚のカードが入っている．$\mathrm{A}$の箱からカードを$1$枚とり出し，そのカードに記された番号を$a$とし，$\mathrm{B}$の箱からカードを$1$枚とり出し，そのカードに記された番号を$b$とする．

　$a-b\geqq 2$となる確率は

${\displaystyle \frac{m^2-\boxed{\text{キ}}m+\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}{m}^2}}$

である．

【２】　$0\leqq x<\pi$のとき，関数

$f(x)=a{\cos }^{2}x+b{\sin }^{2}x+\cos x\sin x$

について，次に答えなさい．ただし$a\text{，}b$は実数である．

(1)　$f(x)$を$\cos 2x$と$\sin 2x$を用いて表しなさい．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値それぞれを$a\text{，}b$で表しなさい．

(3)　$f(x)$の最大値と最小値それぞれが$2\text{，}-1$であるとき，$a\text{，}b$の値を求めなさい．

【３】　$x$に関する方程式

$4^x-a\cdot 2^{x+1}+b(1-b)=0$

について，次に答えなさい．ただし，$a\text{，}b$はともに実数である．

(1)　二つの解をもち，解が${\log }_{2}3$と$-4$であるとき，$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(2)　二つの異なる実数解をもつための$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めなさい．また，求めた条件を満たす点$(a,b)$の存在する領域を図示しなさい．

【１】　$0\leqq \theta \leqq \pi$を満たす定数$\theta$に対して，行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \theta \\ -\sin \theta & {\displaystyle \frac{2}{3}}\cos \theta \end{array}\right)$

とする．

$(xE-A)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

を満たす数$x\text{，}a\text{，}b$について次に答えなさい．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)　$x$の満たす方程式を求めなさい．

(2)　$x$が一つだけ存在するような$\theta$の値を求めなさい．また，このときの$x$の値と，$a\text{，}b$の値で

$a^2+b^2=1$

を満たすものを求めなさい．

【２】　曲線$y=e^{-x}|x-n|$と曲線$y=e^{-x}$とによって囲まれる図形の面積を$S_n$とする（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$a$は実数とする．次の不定積分を計算しなさい．ただし，積分定数は省略してよい．

${\displaystyle \int }(x+a)e^{-x}dx$

(2)　$S_n$を$n$で表しなさい．

(3)　次を計算しなさい．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$

【２】　関数

$f(x)=a{x}^3+3bx+1$

は$x=1$において極大値$3$をとる．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(2)　座標平面において，点$(2,t)$から曲線$y=f(x)$に異なる$3$本の接線を引くことができるとき，定数$t$の範囲を求めなさい．