2008　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{メ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$A$を次の$2\times 2$行列とする．

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 6& -1\end{array}\right)$

成分$x_1\text{，}{x}_2$が正である行ベクトル$X=(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array})$が定数$a$に対して，

$XA=aX$

を満たすとき，$a=\boxed{\text{ア}}$である．さらに，$x_1+x_2=1$ならば，$X={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}(\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}})$である．また，列ベクトル$Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$が

$AY=\boxed{\text{ア}}Y$

を満たし，$y_1+y_2=1$ならば，$Y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\left(\begin{array}{c}\boxed{\text{カ}}\\ \boxed{\text{キ}}\end{array}\right)$であり，$X{A}^{7}Y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{メ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　定数$\alpha$に対して，関数$f(t)$を

$f(t)=2\cdot 9^{-t}-\alpha \cdot 3^{1-t}+4\alpha +2$

と定める．$f(t)=0$を満たす実数$t$が存在するような$\alpha$の範囲を求める問題を考える．

$f(x)$は，$t=-{\log }_{3}x\text{（}x>0\text{）}$とおくと，

$\boxed{\text{ス}}{(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\alpha )}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}{\alpha }^2+4\alpha +2$

と表される．この式を$g(x)$とおくと，問題は，方程式$g(x)=0$が$x>0$の範囲に実数解を持つ$\alpha$の範囲を求めることに帰着する．よって，求める$\alpha$の範囲は，$\alpha <-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$または$\alpha \geqq \boxed{\text{ト}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{メ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$n$を自然数とする．$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，数字$k$が書かれたカードが$k$枚ずつある．これらすべてのカードをよく混ぜて，カードを取り出す．

(ⅰ)　$n=49$に対して，$1$枚カードを取り出したときカードの数字が$25$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}$であり，$2$枚カードを取り出したときカードの数字が$2$枚とも$25$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}}}}$である．

(ⅱ)　$n\geqq 2$に対して，$2$枚カードを取り出したときカードの数字が$2$枚とも同じである確率を$p_n$とする．$p_{49}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}\text{ミ}}}}$である．$n\cdot p_n$は，$n\to \infty$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$に収束する．必要ならば，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

を用いてもよい．

【２】　$a$を正の定数とする．$xy$平面において，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,p)$と$2$次曲線$y=a{x}^2$上にある点$\mathrm{Q}(t,a{t}^2)$が，条件

$\mathrm{PQ}=1\text{，}p\geqq a{t}^2\text{，}0\leqq t\leqq 1$

を満たすように動いている．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$p$を$a$と$t$を用いて表しなさい．

(2)　$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$p$の範囲を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$p$の範囲を$a$を用いて表しなさい．

(4)　$p$の最大値から最小値を引いた値を$h(a)$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$h(a)$を最小にする$a$の値，および$h(a)$の最小値を求めなさい．

【３】　実数$x\text{，}y\text{，}t$が

$\{\begin{array}{l}{t}^3-(2y-1)t^2-t+2y-1=0\\ xt-2t+2y=0\end{array}$

を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$t^3-(2y-1)t^2-t+2y-1=0$を$t$の$3$次方程式として解きなさい．

(2)　(1)で求めたそれぞれの$t$に対して，$y$を$x$の関数として表しなさい．

(3)　(2)で求めたそれぞれの関数のグラフを同一の$xy$平面上に図示しなさい．

(4)　(3)で図示した図形の$x\geqq 0$の部分と，直線$y=2$で囲まれた領域の面積を求めなさい．