2008　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}(t,u)\text{（}t\geqq 0\text{，}u\geqq 0\text{）}$をとり，不等式$y\geqq 0$の表す領域内に長方形$\mathrm{OABC}$を考える．ただし，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{AB}=1$とする．そして，不等式$0\leqq y\leqq 1$の表す領域と長方形$\mathrm{OABC}$の共通部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$u$を$t$の式で表せ．

(2)　$0\leqq t\leqq 2$のとき，線分$\mathrm{BC}$が$y$軸と共有点をもつような$t$の値の範囲を求めよ．また，そのときの共有点の$y$座標を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$の座標を$t$を用いて表せ．

(4)　$S(t)$を求めよ．ただし，$t$の値による場合分けが必要であることに注意せよ．

(5)　$t$が$0\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，円$C:x^2+y^2=1$と円$C_a:{(x-a)}^{\mathrm{２}}+y^2=2\text{（}a>0\text{）}$を考える．$C$の外部の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$つの接線の接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\angle \mathrm{APB}$を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるような点$\mathrm{P}$全体からなる領域$D$を図示せよ．

(3)　$C_a$の外部の点$\mathrm{Q}$から$C_a$に引いた$2$つの接線が直交するという．そのような点$\mathrm{Q}$の軌跡を$E_a$とするとき，$D$と$E_a$の共通部分が$1$つの円弧になるような$a$の値の範囲を求めよ．ただし，共通部分が$1$点からなる場合は円弧とはみなさない．

(4)　$a$を(3)で求めた範囲内の実数とするとき，領域$D$は$E_a$によって$2$つの領域に分けられる．このとき，$2$つの領域をそれぞれ$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V_1\text{，}{V}_2$を求めよ．ただし，$V_1\leqq V_2$とする．