2008　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$k>0$とする．$xy$平面において曲線

$C:y=x^3-x$

を$x$軸方向に$\sqrt{k}\text{，}y$軸方向に$\sqrt{k}$だけ平行移動した曲線を$C^{\prime }$とする．

　$2$曲線$C\text{，}{C}^{\prime }$がただ$1$つの共有点をもつのは$k=\boxed{\text{ア}}$のときである．このとき，共有点の$x$座標は$\boxed{\text{イ}}$，$y$座標は$\boxed{\text{ウ}}$である．

　$k$の範囲が$\boxed{\text{エ}}$であるとき，$2$曲線$C\text{，}{C}^{\prime }$は$2$つの共有点をもつ．このとき，$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とすると${(\alpha -\beta )}^2=\boxed{\text{オ}}$であり，$2$曲線$C\text{，}{C}^{\prime }$で囲まれた図形の面積を$S$とすると$S=\boxed{\text{カ}}$である．$k$を$\boxed{\text{エ}}$の範囲で変化させると，$k=\boxed{\text{キ}}$で$S$は最大値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

【２】　一辺の長さが$1$である正四面体の頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とし，線分$\mathrm{AH}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\mathrm{BH}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\mathrm{AH}=\boxed{\text{コ}}\text{，}\mathrm{BG}=\boxed{\text{サ}}$である．

(2)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の表面積，すなわち，$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{ACD}\text{，}▵\mathrm{ABD}\text{，}▵\mathrm{BCD}$の面積の和を$S_1$とすると，$S_1=\boxed{\text{シ}}$である．

　また$4$個の三角形，$▵\mathrm{ABH}\text{，}▵\mathrm{ACH}\text{，}▵\mathrm{ADH}\text{，}▵\mathrm{BCD}$の面積の和を$S_2$とすると，$S_2=\boxed{\text{ス}}$である．

　さらに，$6$個の三角形，$▵\mathrm{ABG}\text{，}▵\mathrm{ACG}\text{，}▵\mathrm{ADG}\text{，}▵\mathrm{BCG}\text{，}▵\mathrm{BDG}\text{，}▵\mathrm{CDG}$の面積の和を$S_3$とすると，$S_3=\boxed{\text{セ}}$であり，小数第$2$位を四捨五入すると

${\displaystyle \frac{S_1}{S_3}}\fallingdotseq \boxed{\text{ソ}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_2}{S_3}}\fallingdotseq \boxed{\text{タ}}$

である．（$\sqrt{6}=2.44948\cdots$は使ってもよい．）

【３】　$X=\left(\begin{array}{cc}3\sqrt{2}& 7\\ -1& -\sqrt{2}\end{array}\right)$とする．$X$の逆行列$X^{-1}$を求めると，$X^{-1}=\boxed{\text{チ}}$である．自然数$n$に対して行列$A_n$を

$A_n=X^n+{(X^{-1})}^n$

で定めると，$A_1=\boxed{\text{ツ}}\text{，}{A}_2=\boxed{\text{テ}}$であり，

$A_{n+2}=\boxed{\text{ト}}{A}_{n+1}+\boxed{\text{ナ}}{A}_n$

である．行列$A_n$の$(1,1)$成分を$a_n$とすると

• $a_{n+2}-\boxed{\text{ニ}}{a}_{n+1}=\boxed{\text{ヌ}}(a_{n+1}-\boxed{\text{ニ}}{a}_n)$
• $a_{n+2}-\boxed{\text{ヌ}}{a}_{n+1}=\boxed{\text{ニ}}(a_{n+1}-\boxed{\text{ヌ}}{a}_n)$

であり，$a_n$は$n$を用いて$a_n=\boxed{\text{ネ}}$と表される．

【４】　$n$を自然数とする．表と裏の出方が同様に確からしい硬貨を続けて何回か投げる．なお，$0$はすべての整数の倍数とみなすことにする．

(1)　各回とも裏が出れば$0$点，表が出れば$1$点を得るものとする．硬貨を続けて$3$回投げるとき，獲得する点数の合計の期待値は$\boxed{\text{ノ}}$である．また硬貨を続けて$n$回投げるとき，獲得する点数の合計が$2$の倍数になる確率は$\boxed{\text{ハ}}$である．これを用いると$n$が偶数であるとき

${}_{n}C_0+{}_{n}C_2+{}_{n}C_4+\cdots +{}_{n}C_n=\boxed{\text{ヒ}}$

であることがわかる．

(2)　今度は，$1$回目に投げたときの得点は，表が出れば$1$点で裏が出れば$0$点，$2$回目は表が$2$点で裏が$0$点，$k$回目は表が$2^{k-1}$点で裏が$0$点とする．

　硬貨を続けて$2$回投げるとき，獲得する点数の合計が$2$である確率は$\boxed{\text{フ}}$であり，続けて$3$回投げるとき，獲得する点数の合計が$5$である確率は$\boxed{\text{ヘ}}$である．また硬貨を続けて$4$回投げるとき，獲得する点数の合計の期待値は$\boxed{\text{ホ}}$である．

　硬貨を続けて$2n$回投げるとき，獲得する点数の合計が$3$の倍数である確率を$P_n$とすると，$P_n=\boxed{\text{マ}}$であり$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=\boxed{\text{ミ}}$である．