2008　西南学院大学　経済，国際文化学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$x$についての不等式

$|(x-7)(x+1)|>2x+2$

の解は，

$x<\boxed{\text{アイ}}\text{，}\boxed{\text{ウエ}}<x<\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}<x$

である．

【１】

2.　数列$\{a_n\}$を初項$1\text{，}$公比$4$の等比数列とする．また，$b_n={\log }_{10}{a}_n$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$は公差${\log }_{10}\boxed{\text{キ}}$の等差数列である．

(2)　$a_k$の値がはじめて$26$桁になるのは$k=\boxed{\text{クケ}}$のときである．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(3)　$\sqrt{b_{100}}{\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{b_2}+\sqrt{b_1}}+\frac{1}{\sqrt{b_3}+\sqrt{b_2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{b_{100}}+\sqrt{b_{99}}})}=\boxed{\text{コサ}}$である．

【２】

1.　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{p}$が，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{p}\right|=2\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=8\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=18$

をみたす．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta \text{，}\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}$のなす角度を$\alpha \text{，}\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{p}$のなす角度を$\beta$とする．ただし，角度$\alpha \text{，}\beta \text{，}\theta$の範囲は，いずれも$0°$以上$180°$以下とする．このとき，

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}\cos \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$

である．

　また，$\theta <\alpha$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}$であり，$\theta >\alpha$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\boxed{\text{ニ}}$である．

【２】

2.　以下の問に答えよ．

(1)　$0°\leqq x\leqq 180°$のとき，$y=\sqrt{3}\sin x-\cos x$の最大値は$\boxed{\text{ヌ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ネノ}}$である．

(2)　$0°\leqq x\leqq 90°$のとき，$y=2\sin x+\cos x$の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ヒ}}$である．

【３】　放物線$y=x^2-a$と直線$y=bx$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の間の放物線上に点$\mathrm{C}$をとり，放物線と線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，放物線と線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1+S_2$の最小値を$a$と$b$を用いて表せ．

　ただし，$a\text{，}b$はともに正の定数とする．