2008　福岡大学　理学部応物，化，社会・情報前期

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　放物線$y=2x^2+4kx+1$の頂点の座標を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{(1)}}$である．

　また，頂点が第$2$象限にあるとき，定数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\angle \mathrm{BAI}=\theta$とおく．$\cos \angle \mathrm{BAC}=a$のとき，${\cos }^2\theta$と${\tan }^2\theta$を$a$を用いて表すと，${\cos }^2\theta =\boxed{\text{(3)}}\text{，}{\tan }^2\theta =\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　袋の中に白玉が$6$個，赤玉が$3$個入っている．

(A)　袋の中から玉を$2$個取り出すとき，最初に$1$個を取り出し，袋に戻さないで$2$個目を取り出す場合，$2$個目が白玉である確率は$\boxed{\text{(5)}}$である．

(B)　袋の中から玉を$1$個取り出し，袋に戻す．この操作を$4$回繰り返したとき，白玉が$3$回以上取り出される確率は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{OAB}$の$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{AB}=3$とする．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$t$が実数の値をとって変化するとき，ベクトルの大きさ$|t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$が最小となる$t$の値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　直線$y=-x+k$が円$x^2+y^2+6x-16=0$と共有点をもつとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(3)}}$である．さらに，この円と直線との$2$つの交点を結ぶ線分の長さが$7\sqrt{2}$であるとき，$k$の値を求めると$k=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　曲線$C_1:y={\displaystyle \frac{4}{x+1}}+3$と曲線$C_2:y=-x^2+ax+b$が共有点$(1,5)$をもち，かつその点で共通の接線をもつとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$と$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$と直線$x=0$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$x$の関数$f(x)=x^2+3x+k$に対して，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$g(x)=x^3-3f(x)$の極小値が$-6$であるとき，$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　$k$が(ⅰ)で求めた値をとるとき，関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=-3|x|$のグラフとで囲まれる部分の面積を求めよ．