2009　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面において原点を中心とする半径$2$の円を$C_1$とし，点$(1,0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．また，点$(a,b)$を中心とする半径$t$の円$C_3$が，$C_1$に内接し，かつ$C_2$に外接すると仮定する．ただし，$b$は正の実数とする．

(1)　$a\text{，}b$を$t$を用いて表せ．また，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，$b$の最大値を求めよ．

【２】　自然数$m\geqq 2$に対し，$m-1$個の二項係数

${}_{m}C_1\text{，}{}_{m}C_2\text{，}\cdots \text{，}{}_{m}C_{m-1}$

を考え，これらすべての最大公約数を$d_m$とする．すなわち$d_m$はこれらすべてを割り切る最大の自然数である．

(1)　$m$が素数ならば，$d_m=m$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$k$に対し，$k^m-k$が$d_m$で割り切れることを，$k$に関する数学的帰納法によって示せ．

【３】　スイッチを$1$回押すごとに，赤，青，黄，白のいずれかの色の玉が$1$個，等確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で出てくる機械がある．$2$つの箱$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$を用意する．次の$3$種類の操作を考える．

• (A)　$1$回スイッチを押し，出てきた玉を$\mathrm{L}$に入れる．
• (B)　$1$回スイッチを押し，出て来た玉を$\mathrm{R}$に入れる．
• (C)　$1$回スイッチを押し，出てきた玉と同じ色の玉が，$\mathrm{L}$になければその玉を$\mathrm{L}$に入れ，$\mathrm{L}$にあればその玉を$\mathrm{R}$に入れる．

(1)　$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$は空であるとする．操作(A)を$5$回おこない，さらに操作(B)を$5$回おこなう．このとき$\mathrm{L}$にも$\mathrm{R}$にも$4$色すべての玉が入っている確率$P_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$は空であるとする．操作(C)を$5$回おこなう．このとき$\mathrm{L}$に$4$色すべての玉が入っている確率$P_2$を求めよ．

(3)　$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$は空であるとする．操作(C)を$10$回おこなう．このとき$\mathrm{L}$にも$\mathrm{R}$にも$4$色すべての玉が入っている確率を$P_3$とする．${\displaystyle \frac{P_3}{P_1}}$を求めよ．

【４】　$2$次以下の整式$f(x)=a{x}^2+bx+c$に対し

$S={\displaystyle {\int }_0^2}|f^{\prime }(x)|dx$

を考える．

(1)　$f(0)=0\text{，}f(2)=2$のとき$S$を$a$の関数として表せ．

(2)　$f(0)=0\text{，}f(2)=2$をみたしながら$f$が変化するとき，$S$の最小値を求めよ．

【１】　自然数$m\geqq 2$に対し，$m-1$個の二項係数

${}_{m}C_1\text{，}{}_{m}C_2\text{，}\cdots \text{，}{}_{m}C_{m-1}$

を考え，これらすべての最大公約数を$d_m$とする．すなわち$d_m$はこれらすべてを割り切る最大の自然数である．

(1)　$m$が素数ならば，$d_m=m$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$k$に対し，$k^m-k$が$d_m$で割り切れることを，$k$に関する数学的帰納法によって示せ．

(3)　$m$が偶数のとき$d_m$は$1$または$2$であることを示せ．

【２】　実数を成分にもつ行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$と実数$r\text{，}s$が下の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をみたすとする．

• (ⅰ)　$s>1$
• (ⅱ)　$A\left(\begin{array}{c}r\\ 1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}r\\ 1\end{array}\right)$
• (ⅲ)　$A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$

　このとき以下の問に答えよ．

(1)　$B={\left(\begin{array}{cc}1& r\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}A\left(\begin{array}{cc}1& r\\ 0& 1\end{array}\right)$を$a\text{，}c\text{，}r\text{，}s$を用いて表せ．

(2)　$B^n=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{z}_n\\ w_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n=0$を示せ．

(3)　$c=0$かつ$|a|<1$を示せ．

【４】　$a$を正の実数とし，空間内の$2$つの円板

• $D_1=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leqq 1\text{，}z=a\}$，
• $D_2=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leqq 1\text{，}z=-a\}$

を考える．$D_1$を$y$軸の周りに$180°$回転して$D_2$に重ねる．ただし回転は$z$軸の正の部分を$x$軸の正の方向に傾ける向きとする．この回転の間に$D_1$が通る部分を$E$とする．$E$の体積を$V(a)$とし，$E$と$\{(x,y,z)|x\geqq 0\}$との共通部分の体積を$W(a)$とする．

(1)　$W(a)$を求めよ．

(2)　$\underset{a\to \infty }{\lim }V(a)$を求めよ．

【５】(1)　実数$x$が$-1<x<1\text{，}x\ne 0$をみたすとき，次の不等式を示せ．

${(1-x)}^{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}<{(1+x)}^{{\displaystyle \frac{1}{x}}}$

(2)　次の不等式を示せ．

${0.9999}^{101}<0.99<{0.9999}^{100}$

【６】　平面上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の距離を$d(\mathrm{P},\mathrm{Q})$と表すことにする．平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする一辺の長さが$1000$の正三角形$△{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$がある．$△{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の内部に$3$点${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_3$を，$d({\mathrm{A}}_n,{\mathrm{B}}_n)=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$となるようにとる．また，

• $\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}\text{，}\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3}\text{，}\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_1}$
• $\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}\text{，}\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2}\text{，}\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3}$

とおく．$n=1\text{，}2\text{，}3$のそれぞれに対して，時刻$0$に${\mathrm{A}}_n$を出発し，$\overrightarrow{e_n}$の向きに速さ$1$で直進する点を考え，時刻$t$におけるその位置を${\mathrm{P}}_n(t)$と表すことにする．

(1)　ある時刻$t$で$d({\mathrm{P}}_1(t),{\mathrm{P}}_2(t))\leqq 1$が成立した．ベクトル$\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$と，ベクトル$\overrightarrow{a_1}$とのなす角度を$\theta$とおく．このとき$|\sin \theta |\leqq {\displaystyle \frac{1}{1000}}$となることを示せ．

(2)　角度${\theta }_1\text{，}{\theta }_2\text{，}{\theta }_3$を${\theta }_1=\angle {\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}{\theta }_2=\angle {\mathrm{B}}_2{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}{\theta }_3=\angle {\mathrm{B}}_3{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_1$によって定義する．$\alpha$を$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{1000}}$をみたす実数とする．(1)と同じ仮定のもとで，${\theta }_1+{\theta }_2$の値のとる範囲を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　時刻$t_1\text{，}{t}_2\text{，}{t}_3$のそれぞれにおいて，次が成立した．$$

$d({\mathrm{P}}_2(t_1),{\mathrm{P}}_3(t_1))\leqq 1\text{，}d({\mathrm{P}}_3(t_2),{\mathrm{P}}_1(t_2))\leqq 1\text{，}d({\mathrm{P}}_1(t_3),{\mathrm{P}}_2(t_3))\leqq 1$

　このとき，時刻$T={\displaystyle \frac{1000}{\sqrt{3}}}$において同時に

$d({\mathrm{P}}_1(T),\mathrm{O})\leqq 3\text{，}d({\mathrm{P}}_2(T),\mathrm{O})\leqq 3\text{，}d({\mathrm{P}}_3(T),\mathrm{O})\leqq 3$

が成立することを示せ．