2009　神戸大学　前期MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　$xy$平面において，$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$とする．このとき，

${(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}^2\leqq 1$

をみたす点$\mathrm{P}$全体のなす図形の面積を求めよ．

(2)　$xyz$空間において，$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$とする．このとき，

${(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}^2\leqq 1$

をみたす点$\mathrm{P}$全体のなす図形の体積を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とし，$f(x)=-a^2{x}^2+4ax$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}(2,3)\text{，}\mathrm{B}(3,3)$を端点とする線分を$l$とする．曲線$y=f(x)$と線分$l$（端点を含む）が共有点を持つような$a$の値の範囲を求め，数直線上に図示せよ．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ，「石」，「はさみ」，「紙」の$3$種類の「手」から無作為に$1$つを選んで，双方の「手」によって勝敗を決める．「石」は「はさみ」に勝ち「紙」に負け，「はさみ」は「紙」に勝ち「石」に負け，「紙」は「石」に勝ち「はさみ」に負け，同じ「手」どうしは引き分けとする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率と引き分ける確率を求めよ．

(2)　上の$3$種類の「手」の勝敗規則を保ちつつ，これらに加えて，$4$種類目の「手」として「水」を加える．「水」は「石」と「はさみ」には勝つが「紙」には負け，同じ「手」どうしは引き分けとする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がともに$4$種類の「手」から無作為に$1$つを選ぶとするとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率と引き分けの確率を求めよ．

(3)　上の$4$種類の「手」の勝敗規則を保ちつつ，これらに加え，さらに第$5$の「手」として「土」を加える．$\mathrm{B}$が$5$種類の「手」から無作為に$1$つを選ぶとき，$\mathrm{A}$の勝つ確率が$\mathrm{A}$の選ぶ「手」によらないようにするためには，「土」と「石」「はさみ」「紙」「水」との勝敗規則をそれぞれどのように定めればよいか．ただし，同じ「手」どうしの場合，しかもその場合にのみ引き分けとする．

【１】　$a\text{，}b$は実数で$a>b>0$とする．区間$0\leqq x\leqq 1$で定義される関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=\log (ax+b(1-x))-x(1-x)\log b$

ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，以下のことを示せ．

(1)　$0<x<1$に対して$f^{″}(x)<0$が成り立つ．

(2)　$f^{\prime }(c)=0$をみたす実数$c$が，$0<c<1$の範囲にただ$1$つ存在する．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$をみたす実数$x$に対して，

$ax+b(1-x)\geqq a^x{b}^{1-x}$

が成り立つ．

【２】　$f(x)=x^3-3x+1\text{，}g(x)=x^2-2$とし，方程式$f(x)=0$について考える．このとき，以下のことを示せ．

(1)　$f(x)=0$は絶対値が$2$より小さい$3$つの相異なる実数解をもつ．

(2)　$\alpha$が$f(x)=0$の解ならば，$g(\alpha )$も$f(x)=0$の解となる．

(3)　$f(x)=0$の解を小さい順に${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3$とすれば，

$g({\alpha }_1)={\alpha }_3\text{，}g({\alpha }_2)={\alpha }_1\text{，}g({\alpha }_3)={\alpha }_2$

となる．

【３】　$a$を$0\leqq a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にある実数とする．$2$つの直線$x=0\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$および$2$つの曲線$y=\cos (x-a)\text{，}y=-\cos x$によって囲まれる図形を$G$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　図形$G$の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いた式で表せ．

(2)　$a$が$0\leqq a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S$を最大にするような$a$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

(3)　図形$G$を$x$軸の周りに回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いた式で表せ．

【４】　大小$2$つのサイコロを同時に$1$回投げて，大きいサイコロの出た目の数$A\text{，}$および小さいサイコロの出た目の数$B$に応じて得点を競うゲームを考える．ただし，このゲームには$6$種類の得点$X_n\text{（}1\leqq n\leqq 6\text{）}$があって，それぞれ，次の規則で定められているとする：

$X_n=\{\begin{array}{ll}A& \text{（}A\geqq n\text{のとき）}\\ B& \text{（}A<n\text{かつ}A\ne B\text{のとき）}\\ aA+b& \text{（}A<n\text{かつ}A=B\text{のとき）}\end{array}$

ここで，$a\text{，}b$は実数の定数である．また，得点$X_n$の期待値を$E_n$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$A\text{，}B$のとり得る値に対する得点$X_3$および$X_4$の値を，答案用紙の表にそれぞれ記入せよ．

(2)　$E_4-E_3$を求めよ．

(3)　$E_1=E_2=\cdots =E_6$となるような$a\text{，}b$はあるか．あれば求めよ．なければ，そのことを示せ．

【５】　$t$を実数として，数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$を

• $a_1=1\text{，}{a}_2=2t\text{，}$
• $a_{n+1}=2t{a}_n-a_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$t\geqq 1$ならば，$0<a_1<a_2<a_3<\cdots$となることを示せ．

(2)　$t\leqq -1$ならば，$0<|a_1|<|a_2|<|a_3|<\cdots$となることを示せ．

(3)　$-1<t<1$ならば，$t=\cos \theta$となる$\theta$を用いて，

$a_n={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

となることを示せ．