2009　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　$x\ne 0$をみたす実数$x$に対し

$S(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}{\displaystyle {\int }_0^{ax}}(2\sin t-t\cos t)dt$

とおく．ただし，$a$は$a\ne 0$をみたす定数とする．次の問いに答えよ．

問１　$S(x)$を求めよ．

問２　$\underset{x\to \infty }{\lim }S(x)$を求めよ．

【２】　$\theta$を実数として$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とおき，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．次の問いに答えよ．

問１　すべての自然数$k$に対して

$A^k=\left(\begin{array}{cc}\cos k\theta & -\sin k\theta \\ \sin k\theta & \cos k\theta \end{array}\right)$

が成り立つことを示せ．

問２　自然数$n$に対して$T=E+A+A^2+\cdots +A^n$とおく．このとき，$(E-A)T$を$\theta$と$n$を用いて表せ．

問３　$\cos \theta \ne 1$のとき，$E-A$は逆行列をもつことを示し，${(E-A)}^{-1}$を求めよ．

問４　$\cos \theta \ne 1$のとき，自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin k\theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta +\sin n\theta -\sin (n+1)\theta }{2(1-\cos \theta )}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　$n$を自然数，$p$を$0<p<1$をみたす実数とする．

$a_k={}_{n}C_k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

とおく．ただし，${}_{n}C_k$は二項係数を表す．さらに

$r_k={\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_k}}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$r_k={\displaystyle \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}\text{（}k=\mathrm{０}\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$となることを示せ．

問２　$r_{k-1}>r_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$が成り立つことを示せ．

問３　$i$を$0$以上$n-1$以下の整数とする．$r_i>1$のとき，

$a_k<a_{k+1}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}i\text{）}$

が成り立つことを示せ．

問４　$n=100\text{，}p={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$a_k$が最大となる$k$を求めよ．

【４】　定数$a\text{，}b\text{，}c$は$a>0\text{，}b>0\text{，}{b}^2-ac<0$をみたすとする．実数$t$に対し

$f(t)={\displaystyle \frac{a{t}^2+2bt+c}{t^2+1}}$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$f(t)>0$であることを示せ．

問２　関数$f(t)$は最小値をもつことを示せ．

問３　関数$f(t)$の最小値を$m$とするとき，すべての実数$x\text{，}y$に対し

$a{x}^2+2bxy+c{y}^2\geqq m(x^2+y^2)$

が成り立つことを示せ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,ab)\text{，}\mathrm{H}({\displaystyle \frac{1}{a}},{\displaystyle \frac{1}{b}},{\displaystyle \frac{1}{ab}})$が同じ平面上にあるとする．ただし，$a\text{，}b$は$a>1\text{，}b>1$をみたす実数とする．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ．

問２　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=1$を示し，$b^2$を$a$を用いて表せ．

問３　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$a$を用いて表せ．

問４　$▵\mathrm{ABC}$の面積が最小となるような$a^2$の値を求めよ．

【５】　$xy$平面において，点$\mathrm{P}(1,1)$を通り傾きが$m$の直線と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$の交点を$\mathrm{A}(\alpha ,{\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{B}(\beta ,{\displaystyle \frac{1}{2}}{\beta }^2)$（ただし，$\alpha <\beta$）とする．点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$におけるこの放物線の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とし，直線$l_1$と直線$l_2$の交点を$\mathrm{C}$とする．さらに，$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$の傾きをそれぞれ$\tan {\theta }_1\text{，}\tan {\theta }_2(\text{ただし，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\theta }_1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，$\theta ={\theta }_2-{\theta }_1$とおく．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{C}$の座標を$m$を用いて表せ．

問２　$m={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であることを示せ．

問３　$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\tan \theta$を$m$を用いて表せ．

問４　$m$が$m>{\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，$\tan \theta$が最小になるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．