2009　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$xy$平面において，$x$軸，直線$y=x+2\text{，}$さらに放物線$y=x^2$の右半分（$x\geqq 0$の範囲にある放物線の部分）の$3$つで囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\pi$

であり，$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\pi$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$a$を正の定数とする．$t>1$に対し，関数$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_1^t}{\displaystyle \frac{a+2-(a^2+6a+11)\log x}{x}}dx$

と定める．ただし，対数は自然対数を表す．このとき$f(x)$は

$\log t={\displaystyle \frac{a+\boxed{\text{ケ}}}{a^2+6a+11}}$

を満たす$t$で最大値

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}}\frac{{(a+\boxed{\text{ケ}})}^{\boxed{\text{サ}}}}{a^2+6a+11}}$

をとる．また，$f(t)$が$\log t={\displaystyle \frac{2}{13}}$を満たす$t$で最大値をとるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

のときであり，その最大値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　${(a+b+c)}^5$を展開して整理したとき，項の数は$\boxed{\text{テ}\text{ト}}$で，$a^2{b}^{2}c$の係数は$\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}$である．また${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}}+2)}^5$を展開して整理したときの$x^3$の係数は$\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}$で，定数項は$\boxed{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(4)　$a$を$0\leqq a<2\pi$を満たす実数とし，$A\text{，}E\text{，}O$を次の$2\times 2$行列とする．

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos a& -\cos {\displaystyle \frac{a^2}{2\pi }}\\ \sin a& \sin {\displaystyle \frac{a^2}{2\pi }}\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

ある実数$b$に対して$A^2+bA+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}E=O$を満たすような$a$は全部で$4$個ある．これらを小さい方から順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$とすると，

$a_1={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}}}-\boxed{\text{ホ}}}{3}}\pi \text{，}{a}_4={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}}-\boxed{\text{ム}}}{3}}\pi$

$(a_3-a_2)(a_3+a_2+2\pi )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}{\pi }^2$

となる．

【２】　次の条件を満たす$x$の整式$f(x)$を考える．

　$f(x)$に$x=t^2$を代入して得られる$t$の整式

$g(t)=f(t^2)$

はある定数$p$に対し，次の関係式(＊)を満たす．

$12t^{3}g(t)-(2t^4+2p{t}^2-1)g^{\prime }(t)-(2t^2+1)t{g}^{″}(t)=0$(＊)

ただし，$g^{\prime }(t)\text{，}{g}^{″}(t)$はそれぞれ$g(t)$の第$1$次，第$2$次導関数を表す．

(1)　$g^{\prime }(t)$を$f^{\prime }(t^2)\text{，}{g}^{″}(t)$を$f^{\prime }(t^2)$と$f^{″}(t^2)$を用いて表しなさい．ただし，$f^{\prime }(t^2)\text{，}{f}^{″}(t^2)$はそれぞれ$f(x)$の第$1$次，第$2$次導関数$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$に$x=t^2$を代入した関数である．

(2)　(1)を用いて，関係式(＊)を$f(x)\text{，}{f}^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$の関係式に書き直しなさい．

(3)　$f(x)$を$0$でない整式とすると$f(x)$の次数は，$p$の値によらず，$3$となることを示しなさい．

(4)　$p=-3$かつ$f(-1)=4$のとき，整式$f(x)$を求めなさい．

【３】　$t>0$に対して，$xy$平面の曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$上の$2$点$\mathrm{P}(t,-{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{，}\mathrm{Q}(-t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$をとる．点$\mathrm{Q}$における曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$の接線を$l$とし，直線$l$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$との交点を右の図のように${\mathrm{S}}_1\text{，}{\mathrm{S}}_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$点${\mathrm{S}}_1\text{，}{\mathrm{S}}_2$の座標を$t$を用いて表しなさい．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{S}}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{S}}_2}$の内積を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$▵{\mathrm{S}}_1\mathrm{P}{\mathrm{S}}_2$の面積を求め，$t$によらないことを確かめなさい．

(4)　$\angle {\mathrm{S}}_1\mathrm{P}{\mathrm{S}}_2=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表しなさい．また，$t$が正の数全体を動くとき，$\cos \theta$の最小値と，それを与える$t$の値を求めなさい．