2009　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{タ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$が次の$3$次方程式の解であるとする．

$x^3-2x^2+x+5=0$

(a)　このとき，$a^3+b^3+c^3$の値は$-\boxed{\text{ア}\text{イ}}$である．

(b)　このとき，$a^4+b^4+c^4$の値は$-\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{タ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(2)(a)　袋の中に$1$が書かれた球，$0$が書かれた球，$-1$が書かれた球が$1$つずつ入っている．この袋から球を$1$個とりだし，袋の中に戻す操作を続けて$2$回行う．最初に取り出した球に書かれていた数を$a$とし，次に取り出した球に書かれていた数を$b$とする．このとき，実数$x\text{，}y$についての式$a{x}^2+bxy+a{y}^2$が次の条件

「$a{x}^2+bxy+a{y}^2=0$ならば$x=y=0$」

を満たす確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(b)　(a)で用意した袋から球を$1$個とりだし，袋の中に戻す操作を続けて$3$回行う．$1$回目と$2$回目に取り出した球により$a\text{，}b$を(a)のように定め，$3$回目に取り出した球に書かれていた数を$c$とする．このとき，実数$x\text{，}y\text{，}z$についての式$a{(x-y)}^2+b{(y-z)}^2+c{(z-x)}^2$が次の条件

「$a{(x-y)}^2+b{(y-z)}^2+c{(z-x)}^2=0$ならば$x=y=z$」

を満たす確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{タ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　空間に点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)\text{，}$点$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)\text{，}$点$\mathrm{C}(-1,0,0)$があり，さらに正の実数$h$を$z$座標にもつ点$\mathrm{D}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},h)\text{，}$点$\mathrm{E}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},h)\text{，}$点$\mathrm{F}(1,0,h)$があるとする．

(a)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{FA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{FD}}$の内積は$\boxed{\text{コ}}$である．

(b)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{FC}$の交点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}},{\displaystyle \frac{h}{\boxed{\text{ス}}}})$である．

(c)　$h$の値が$\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$であるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{FC}}$は垂直である．

(d)　$h$が(c)で求めた値である場合，三角形$\mathrm{APF}$を底面とし点$\mathrm{E}$を頂点とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【２】　以下の(1)から(3)の問に答えよ．ただし，(1)および(2)で得られた結論は，必要なら(3)の解答の際に用いてよい．

(1)　$0<t<\pi$をみたす実数$t$をとる．実数$\theta$が$0<\theta <\pi -t$の範囲を動くとき，関数$f(\theta )=\sin \theta +\sin (\pi -t-\theta )$の値が最大になるような$\theta$の値と，関数$f(\theta )$の最大値$m(t)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$m(t)$を用いて関数$g(t)=\sin t+m(t)$を定める．実数$t$が$0<t<\pi$の範囲を動くとき，関数$g(t)$の値が最大になるような$t$の値と，関数$g(t)$の最大値$M$を求めよ．

(3)　半径$1$の円$T$に内接する三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$における内角を$t$で表し，頂点$\mathrm{C}$における内角を$\theta$で表すことにする．

(a)　頂点$\mathrm{A}$における内角$t$が動く範囲を求めよ．

(b)　頂点$\mathrm{A}$における内角$t$を一定に保ちながら頂点$\mathrm{A}$が円$T$上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{AC}$の長さの和が最大になるための必要十分条件を三角形$\mathrm{ABC}$についての条件として述べよ．

(c)　(b)で求めた条件をみたす三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$における内角$t$を，(a)で求めた範囲で動かすことにより，この三角形の$3$辺の長さの和の最大値を求めよ．

【３】　座標平面上に点${\mathrm{P}}_1(12,8)$がある．これを行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right)$で表される変換で移した点を${\mathrm{P}}_2$とし，この点を再びこの変換で移した点を${\mathrm{P}}_3$とする．この操作をくりかえし，一般に点${\mathrm{P}}_n$をこの変換で移した点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

(1)　行列$A^2$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を頂点にもつ三角形の面積を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_{2n}\text{，}{\mathrm{P}}_{2n+1}$を頂点にもつ三角形の面積を$S_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　$n$を$2$以上の自然数とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n-1}{\mathrm{P}}_{2n}$からなる折れ線と，この折れ線の$2$つの端点を結ぶ線分${\mathrm{P}}_{2n}{\mathrm{P}}_1$によって囲まれるすべての三角形の面積の和$T_n$の極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．