2009　東京理科大学　理学部二部3月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの整数を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークしなさい．

　$a\text{，}b$を定数とし，多項式$P(x)={(x-1)}^2(x^2+ax+b)$を考える．$P(x)$を$x-2$で割ると余りが$3\text{，}x+3$で割ると余りが$-45$であるという．このとき

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b--\boxed{\text{イ}}$

となる．$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割った商を$Q(x)\text{，}$余りを$px+q$とすると

$Q(x)=x^2+\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}}$

であり，

$p=\boxed{\text{オ}\text{カ}}\text{，}q=-\boxed{\text{キ}\text{ク}}$

である．

【２】　次の$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの整数を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークしなさい．

　$1$から$10$までの数を$1$つずつ書いた$10$枚のカードがある．この中からカードを$1$枚引き，数を確認してからもとに戻す操作を$3$回繰り返す．このとき引いたカードに書かれた数の最大値を$M$とする．

　$M\leqq 3$となるのは，各回に$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかを引く場合であるから，$M\leqq 3$となる確率は${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{10}}\right)}^3$である．また，$M=4$となるのは，$M\leqq 4$であるが$M\leqq 3$ではない場合であるから，$M=4$となる確率を小数で表すと$0.\boxed{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}$である．$k$を$9$以下の自然数とするとき，$M=k$となる確率が$0.12$をこえる最小の$k$は$\boxed{\text{オ}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの整数を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークしなさい．

　三角関数の加法定理より

$\cos 2\alpha =\boxed{\text{ア}}{\cos }^2\alpha -\boxed{\text{イ}}$

であり，

$\cos 3\alpha =\boxed{\text{ウ}}{\cos }^3\alpha -\boxed{\text{エ}}\cos \alpha$

である．これらの等式を用いると

$\cos 3\alpha -6\cos 2\alpha +8\cos \alpha =(\cos \alpha -\boxed{\text{オ}})(\boxed{\text{カ}}\cos \alpha +\boxed{\text{キ}})(\boxed{\text{ク}}\cos \alpha -\boxed{\text{ケ}})$

である．よって，方程式

$\cos 3\alpha -6\cos 2\alpha +8\cos \alpha =0$

をみたす$\alpha \text{（}0\mathrm{°}\leqq \alpha <360\mathrm{°}\text{）}$は$\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}\mathrm{°}\text{，}\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}\mathrm{°}$であることが分かる．ただし$\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}<\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}$とする．

【４】　次の$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの整数を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークしなさい．

　$3$で割り切れる自然数は初項$3\text{，}$公差$3$の等差数列となる．$3$で割り切れる自然数のうち$100$以下のものは，$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$個あり，それらの和は$\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}\text{カ}}$である．また$100$以下の自然数のうち$3$で割り切れるが$2$では割り切れない数の和は$\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$である．

　$n$を自然数とする．$3$で割り切れるが$2$では割り切れない$n$以下の自然数の和が$3267$であるという．このような$n$のうち最小のものは$\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}$である．

【５】　次の$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの整数を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークしなさい．

　曲線$y=x^2-3x+2$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_1$は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}$である．曲線$y=x^2-3x+2$と直線$y=mx$が相異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は

$m<-\boxed{\text{イ}}-2\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}-\boxed{\text{イ}}+2\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}<m$

である．このとき曲線$y=x^2-3x+2$と直線$y=mx$で囲まれた図形の面積$S_2$が$S_1$の$16\sqrt{2}$倍となるのは

$m=\boxed{\text{エ}}\text{，}m=-\boxed{\text{オ}}$

の場合である．