2009　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$1$から$10$の数字がそれぞれ付けられた玉が$10$個入っている箱がある．この中から玉を$1$個取り出し番号を確認してから箱に戻す操作を$n$回繰り返す．各回の取り出した玉の番号を掛け合わせた積を$A$とするとき，$A$が$5$で割り切れる確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，また，$A$が$9$で割り切れる確率は$\boxed{\text{イ}}$となる．

【１】

(2)　正の数$x$と$y$は連立方程式

$\{\begin{array}{c}x{y}^4=4\cdots \text{①}\\ ({\log }_{2}x)({\log }_{2}y+1)=-4\cdots \text{②}\end{array}$

を満たしている．

　この連立方程式の解となる$x$と$y$の値は，$x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}y=\boxed{\text{エ}}$または$x=\boxed{\text{オ}}\text{，}y=\boxed{\text{カ}}$である．

　ただし，$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

【１】

(3)　$2$次方程式$x^2-7x+11=0$の$2$つの解の小数部分を$\alpha \text{，}\beta$（ただし，$\alpha >\beta$）とすると，$\alpha =\boxed{\text{キ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ク}}$である．また，$\alpha \text{，}\beta$を解とする$2$次方程式のうち，$x^2$の係数が$1$であるものは$\boxed{\text{ケ}}=0$である．

【１】

(4)　$▵\mathrm{AOB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{OM}$と$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{シ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{b}$と表される．また，このとき，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{OM}$が直交し，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}$であるならば，$\angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{セ}}°$であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　ふたつの政党$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のみが存在するある国では，$1$ヶ月ごとに政党支持率調査が行われている．これまでの調査を分析すると，毎月$\mathrm{A}$党を支持する者の$30\%$が$\mathrm{B}$党へと支持政党を変更し，一方$\mathrm{B}$党を支持する者の$20\%$が$\mathrm{A}$党へと支持政党を変更する傾向にあるという．なお，この国の全国民は必ずどちらかの政党を支持するものとする．

(1)　$n$ヶ月後の$\mathrm{A}$党支持率を$P_n$とし，$P_{n+1}$を$P_n$で表すと

$P_{n+1}=\boxed{\text{タ}}\times P_n+\boxed{\text{チ}}$

となる．

(2)　$P_n$を$P_1$と$n$で表すと

$P_n=(P_1-\boxed{\text{ツ}})\times {\boxed{\text{タ}}}^{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ツ}}$

となる．

(3)　現在の$\mathrm{A}$党の支持率が$80\%$であるとき，$5$ヶ月後の$\mathrm{A}$党の支持率は$\boxed{\text{ト}}\%$になると推計できる．なお，$\boxed{\text{ト}}$は小数第$2$位を四捨五入し小数第$1$位まで求めること．

【３】　直線$mx-y+2m=0\cdots \text{①}\text{，}$曲線$y=|x^2-6x|\cdots \text{②}$がある．

(1)　直線$\text{①}$は$m$の値にかかわらず定点を通る．このときの定点の座標を求めよ．

(2)　直線$\text{①}$と曲線$\text{②}$の共有点の個数を$m$の値によって場合分けをして求めよ．

(3)　直線$\text{①}$と曲線$\text{②}$が第$1$象限で接するとき，この直線と曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．